第15期 磁场对运动电荷的作用——洛伦兹力-【数理报】2021-2022学年高中物理选修3-1（教科版）

书 带电粒子垂直射入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下 将做匀速圆周运动，找出圆心、画出轨迹是解题的关键． 而圆心的确定有很多方法，下面给出确定圆心常用的四 种方法． 方法一：初、末速度垂线的交点 带电粒子（不计重力）垂直射入匀 强磁场中，如果知道了射入磁场时的位 置和方向及射出磁场时的位置和方向， 由洛伦兹力充当向心力，此时只要作出 初、末速度的垂线，其交点即为圆心，如 图１所示． 例１．在以坐标原点Ｏ为圆心，半径 为ｒ的圆形区域内，存在方向垂直于纸面向里的匀强磁 场，如图２所示．一个不计重力的带负电粒子从磁场边 界与ｘ轴的交点Ａ处以速度ｖ沿 －ｘ方向射入磁场，该粒 子飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了６０° 角，已知该粒子的质量为ｍ，电荷量为 －ｑ，求： （１）确定粒子在磁场中运动轨迹的圆心； （２）磁感应强度Ｂ多大？ （３）此粒子在磁场中运动所用的时间ｔ是多少？ 解析：（１）粒子从Ｃ点飞出磁场时速度方向改变了 ６０°角，作出 Ａ、Ｃ两点速度方向的垂线，交点即为圆心 Ｏ′，如图３所示． （２）由几何关系，ＡＣ弧所对圆心角为６０°，粒子做 圆周运动的半径Ｒ＝ｒｃｏｔ３０°＝槡３ｒ 向心力公式：ｑｖＢ＝ｍｖ ２ Ｒ 由以上两式得Ｂ＝槡３ｍｖ３ｑｒ． （３）粒子在磁场中飞行的时间 ｔ＝ １６×Ｔ＝ １ ６× ２πｍ ｑＢ 以上几式得ｔ＝槡３πｒ３ｖ． 方法二：两条弦垂直平分线的交点 带电粒子（不计重力）垂直射入 匀强磁场中，如果知道了在磁场中运 动轨迹上的三个点但不知道运动方 向，依次连接这三个点即可得到运动 轨迹的两条弦，此时作出这两条弦的 垂直平分线，其交点即为圆心，如图４ 所示． 例２．如图５所示，在垂直坐标平面的范围内有足够 大的匀强磁场，磁感应强度为 Ｂ，方向向里，一带电荷量 为 ＋ｑ的粒子，质量为ｍ，从Ｏ点以某一速度垂直射入磁 场，其轨迹与ｘ、ｙ轴的交点Ａ、Ｃ到Ｏ点的距离分别为ａ、 ｂ，求： （１）确定粒子在磁场中运动轨迹的圆心； （２）初速度方向与ｘ轴夹角； （３）初速度的大小． 解析：（１）粒子垂直射入磁场，在 ｘＯｙ平面内做匀 速圆周运动，ＯＡ、ＯＣ是圆周上的两条弦，作两条弦的垂 直平分线，交点Ｏ１即为圆轨迹的圆心，如图６所示． （２）以Ｏ１为圆心，ＯＯ１＝Ｒ为半径画圆．正电荷在Ｏ 点受到的洛伦兹力方向从Ｏ指向Ｏ１，由左手定则知，粒 子的速度方向为垂直于ＯＯ１斜向右上方，如图６所示．设 速度方向与ｘ轴的夹角为θ，由几何关系知∠Ｏ１ＯＣ＝θ， 在直角三角形ＯＯ１Ｄ中，有： ｔａｎθ＝ ａ ２ ｂ ２ ＝ ａｂ 因此，速度方向与ｘ轴的夹角为θ＝ａｒｃｔａｎａｂ． （３）在直角三角形ＯＯ１Ｄ中，有： Ｒ＝ （ａ２） ２＋（ｂ２）槡 ２ 又ｑｖＢ＝ｍｖ ２ Ｒ 由上述两式可得粒子的初速度为 ｖ＝ｑＢ ａ ２＋ｂ槡 ２ ２ｍ ． 方法三：初速度垂线与弦垂直平分线的交点 带电粒子（不计重力）垂直射入匀 强磁场中，如果知道了射入磁场时的位 置和方向及射出磁场时的位置，连接初、 末位置得到运动轨迹的一条弦，此时作 出初速度的垂线及弦的垂直平分线，其 交点即为圆心，如图７所示． 例３．一个质量为ｍ，带电荷量为 －ｑ 的不计重力的微粒，从原点Ｏ沿Ｏｙ方向以初速度ｖ０射 入，如图８所示，现加一个垂直于ｘＯｙ平面的匀强磁场， 使这个带电粒子能在 ｘＯｙ平面内运动到 ａ（ｘ０，ｙ０）点， 求： （１）确定粒子在磁场中运动轨迹的圆心； （２）磁场的磁感应强度的大小和方向． 解析：（１）若圆周轨迹经过ａ点，则Ｏａ即是轨迹的 一条弦，作出弦Ｏａ的垂直平分线和Ｏ点速度的垂线，交 点即为圆心Ｃ，如图９所示． （２）由图可知（ｘ０－Ｒ） ２＋ｙ２０ ＝Ｒ ２ 又ｑｖ０Ｂ＝ ｍｖ２０ Ｒ 因此得出磁感应强度 Ｂ＝ ２ｍｖ０ｘ０ ｑ（ｘ２０＋ｙ ２ ０） ，由左手定则 可判断磁感应强度的方向应垂直于ｘＯｙ平面向里． 方法四：初速度垂线与初速度延长线和末速度反向 延长线夹角的角平分线的交点 带电粒子（不计重力）垂直射 入匀强磁场中，如果知道了射入磁 场时的位置和方向及射出磁场时的 方向，则末速度反向延长与初速度 延长线形成一夹角，此时作出这一 夹角的角平分线及初速度的垂线， 其交点即为圆心，如图１０所示． 例４．有一匀强磁场，磁场方向垂直于ｘＯｙ平面且分 布在以Ｏ为中心的一个圆形区域内．一个质量为 ｍ、带 电荷量为ｑ的带电粒子，由原点Ｏ开始运动，初速度为ｖ， 方向沿ｘ轴正方向．粒子经过ｙ轴上的Ｐ点，此时速度方 向与ｙ轴正方向的夹角为３０°，Ｐ到Ｏ的距离为Ｌ，如图１１ 所示，不计重力的影响，求： （１）确定粒子在磁场中运动轨迹的圆心； （２）磁场的磁感应强度Ｂ的大小； （３）ｘＯｙ平面上磁场区域的半径Ｒ． 解析：（１）过Ｐ点作速度的反向延长线，与ｘ轴相交