第04讲 二次函数概念、图象与性质-【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第 4讲 二次函数概念、图象与性质 了解并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系， 了解二次函数的定义，会画相关的图象，掌握图象与系数之间的联系. 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。 2.二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线 (1)抛物线y=(x-1)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x=h (2)抛物线y=a(x-m)(x-n)(a≠0)与x轴的交点坐标分别为(m,0)，(n,0)，它们关于对称轴对称，故其对称轴为直线x= （3）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是()对称轴是直线x= 当a＞0时，开口____，当a＜0时，开口____， ____决定开口大小，____越小开口越____。 a和b同号时，____在y轴____，a和b异号时，____在y轴____， （简称“_____________”） c决定图像_____________ 3.二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的性质 函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 图像 a>0 a<0 性 质 抛物线开口向上 抛物线开口_____ 对称轴是_____， 顶点是________。 对称轴是_____， 顶点是________。 当x<_____， y随x的增大而_____。 当x>_____， y随x的增大而_____。 当x<_____， y随x的增大而_____。 当x>_____， y随x的增大而_____。 抛物线有最（ ）点， 当x=____时，y有____值， y( )=_______。 抛物线有最（ ）点， 当x=____时，y有____值， y( )=_______。 特别提醒：借助二次函数讨论函数值随自变量的变化规律时，一定要确定好对称轴及对称左右的变化规律 4. 二次函数图象平移 二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键 考点1 二次函数概念 例题1 已知y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数，则实数k＝_______ 【答案】-2 【分析】 直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值． 【详解】 解：∵函数y＝(k－2)x|k|＋2x－3是二次函数， ∴=2且k-2≠0， 解得：k=-2． 考点2 二次函数图象与性质 例题2 若抛物线 （a≠0）的示意图如图所示，则a_____0，b_____0，c____0（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> < < 【分析】 由抛物线开口方向可以判断得到；抛物线对称轴在y轴的右侧，可以知道，进一步分析得到；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可以知道． 【详解】 解：①∵抛物线开口向上 ∴ 故答案为： ②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧 ∴ ∵ ∴ 故答案为： ③∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴 ∴ 故答案为： 例题3 （1）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题可先由一次函数y＝﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝x2+m的图象相比较看是否一致． 【详解】 A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选：D． （2）若二次函数（a，b，c 是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）． A．B．C． D． 【答案】B 【分析】 方法1（推理选择法）：根据二次函数的图象性质可得，，，由此可得，，进而可得答案； 方法2（特殊值法）：根据二次函数的图象性质可得，，，由此可令，，，进而可得一次函数为，反比例函数为，进而可得答案． 【详解】 解：方法1（推理选择法）： ∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴，． ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴． ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数分布在第一、三象限． 方法2（特殊值法）： ∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴，． ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴． 由此赋值，如令，，． 则可得一次函数为，反比例函数为． ∴一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数分布在第一、三象限．