第09讲 二次函数与四边形的存在性 -【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第9讲 抛物线中特殊四边形的存在性 掌握特殊四边形的判定和性质，熟记两点间的距离公式与中点坐标公式，利用特殊性质求解。 1.平行四边形的存在性 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标满足： ①xA-xB=xD-xc，yA-yB=yD-yc(平移的性质) ②xA+xC=xB+xD,,yA+yc=yB+yD(中点公式) 考法: (1)三定点、一动点 寻找：过一个定点作另外两个定点连线的平行线，三条平行线的交点即为所求 计算:平移的性质 注意：以下两种说法的不同： ①使四边形ABCD为平行四边形； ②A，B，C，D四点构成的四边形为平行四边形 (2)两定两动：（设A、B为定点；C、D为动点） 分两种情况 ：①、两个定点形成的线段AB为平行四边形的边； ②、两个定点的线段AB为平行四边形的对角线。 计算：设要求的动点坐标，利用中点公式求解 2.菱形的存在性 寻找：可转化为等腰三角形，利用等腰三角形的确定方法确定点的位置 计算：勾股定理，列方程求解 3.矩形的存在性 寻找：可转化为直角三角形，利用直角三角形的确定方法确定点的位置 计算：勾股定理，列方程求解 考点1 平行四边形的存在性 例题1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4,3)，与y轴相交于点B(0，-5)，对称轴为 直线l,点M是线段AB的中点 (1)求抛物线的表达式 (2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式； (3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标. 【答案】P(6,1)或(4,-3)或(2,1),Q(4,5)或(2,1)或(4,1). 【详解】函数表达式为:y=a(x-4)²+3,将点B坐标代入上式并解得：a=- 故抛物线的表达式为:y=-x2+4x-5 (2)A(4,3)、B(0,-5),则点M(2,-1), 设直线AB的表达式为:y=kx-5,将点A坐标代入上式得:3=4k-5，解得：k=2, 故直线AB的表达式为:y=2x-5; (3)设点Q(4,s)、点P(m-,-m2+4m-5), ①当AM是平行四边形的一条边时， 当点Q在A的下方时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M, 同样点P(m,-m²+4m-5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q(4,s)， 即:m-2=4, -m2+4m-5-4=s, 解得:m=6,s=-3, 即点P的坐标为(6,1)、点Q的坐标为(4，-3)故当点Q在点A上方时,AQ=MP=2, 同理可得点P的坐标为(2,1)、点Q的坐标为(4,5), ②当AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得:4+2=m+4,3-1=-m²+4m-5+s, 解得:m=2,s=1, 故点P、Q的坐标分别为(2,1)、(4,1); 综上,P、Q的坐标分别为P(6,1)或(4,-3)或(2,1),Q(4,5)或(2,1)或(4,1). 考点2 菱形的存在性 例题2 综合与探究 如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______． （3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N ①当面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______． ②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；（3）①（-2，2），8；②存在， 点D的坐标为（-，-）或（，）或（，）或（-4，5）． 【分析】 （1）把已知点坐标代入解析式； （2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得； （3）①先求得直线AC的解析式为y=x+4，设点M的坐标为（x，0），则点P的坐标为（x，x+4），点N的坐标为（x，-x2-3x+4），根据三角形的面积公式以及二次函数的性质求解即可； ②分四种情况讨论，利用菱形的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的图象分别画出图形，求解即可． 【详解】 解：（1）将A（-4，0）代入y=x+c， ∴c=4， 将A（-4，0）和c=4代入y=-x2+bx+c， ∴b=-3， ∴抛物线解析式为y=-x2-3x+4； （2）作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，连OC′，交直线l于点E．连接CE，此时CE+OE的值最小． 令x=0，则y=4， ∴C（0，4）， ∵抛物线对称轴为x=-=， ∴CC′=3， 由勾股定理OC′==5， ∴CE+OE的最小值为5； （3）①∵A（-4，0），C（0