第08讲 二次函数与三角形的存在性-【专题突破】2021-2022学年九年级数学下册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第7讲 抛物线与三角形存在性问题 二次函数图像在等腰三角形、直角三角形、相似三角形存在性问题中的综合应用。让学生学会归纳并熟练掌握类型题的作图方法与解答技巧。 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等。 1. 基本步骤： （1）分类讨论 （2）尺规作图 （3）计算 2.常用公式： （1）如果A(x1,y1)B(x2,y2),那么 则它们的中点P的坐标为（, ）; (2) 直线（）与（）的位置关系: 两直线平行且 两直线垂直 3.等腰三角形存在性 分类讨论： 分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置 例如：在抛物线上找一点p，使得三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况： （1）当为顶角时， （2）当为顶角时， （3）当为顶角时， 尺规作图：两圆一线 ①当为顶角时，以C为圆心CD为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P。 ②当为顶角时，以D为圆心DC为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P。 ③当为顶角时，线段DC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 4. 直角三角形存在性 分类讨论： 分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置 例如：动点P在x轴上移动，使得三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况: （1）当为直角时， AE2+AP2=EP2 （2）当为直角时， AE2+EP2=AP2 （3）当为直角时， EP2+AP2=AE2 尺规作图：两线一圆 ①A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P， ②E为直角顶点时，作法同①， ③P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P 5. 相似三角形的存在性 (1)相似三角形的判定方法 判定1：两角分别相等的两个三角形相似； 判定2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 判定3：三边成比例的两个三角形相似 注：三个判定中，判定1和判定2都牵扯到对应角相等的条件因此，在探究两个三角形相似的动态问题时一般情况下都是先寻找一组对应角相等 (2)相似三角形存在性问题的解题思路： ①判定2是最常见的解题依据，一般分三步：寻找一组等角；分两种情况列比例方程；解方程并检验 ②利用判定1解题一般分两步：先寻找一组等角，再分两种情况讨论另两组对应角相等 ③利用判定3解题不多见，主要根据三边对应成比例列连比式解方程 考点1 等腰三角形的存在性 例题1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，或． 【详解】 解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c， 得：． 解得：， ∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，作BC的垂直平分线，交抛物线于点，与交于点,则是以为底的等腰三角形， ∵B（3，0），， ∴OB＝OC＝3， ∴BC的中点D， 则直线OD垂直平分BC， 设直线OD的解析式为y＝kx，将代入 得： ∴k＝1， ∴直线OD的解析式为y＝x， 联立方程组，得：， 解得：，； ∴点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合-面积问题，一次函数与二次函数的交点问题，正确的计算是解题的关键． 例题2 二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）． （1）试求二次函数的解析式及点A的坐标； （2）若在抛物线的对称轴上有一点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为；A（0，2）；（2）点P的坐标为（2，2）或（2，2）或（2，6）或（2，6） 【分析】 （1）把B（3，6）代入y＝ax2﹣4ax+2，列方程求a的值，求出二次函数的解析式，再令x＝0，求出点A的纵坐标； （2）以AB为腰的等腰三角形PAB，可按以BP为底边或以AP为底边两种情况分类讨论，由AP2＝AB2或PB2＝AB2列方程，分别求出相应的点P的坐标． 【详解】 解：（1）把B（3，6）代入y＝ax2﹣4ax+2，得9a﹣12a+2＝6， 解得，a＝， ∴二次函数的解析式为； 当x＝0时，， ∴A（0，2）． （2）设P（2，m）， ∵A（0，2），B（3，6）， ∴AB2＝32+（6﹣2）2＝25， 当AP＝AB时，如图2， 由AP2＝AB2得，22+（m﹣2）2＝25， 整理得，m2﹣4m﹣17＝0， 解得，m1＝