4.2.1随机变量及其与事件的联系-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.2随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 知识梳理 一、随机变量及其与事件的联系 1．随机变量 定义 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围 2．随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： （1）当a≠b时，事件X=a与X=b互斥； （2）事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)+P(X>a)=1． 3．离散型随机变量 取值 特点 一一列出 对于随机变量所有可能取的值都能一一列举出来 有限性 离散型随机变量只取有限个值 4．随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量． 由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此P(X=t)=P(Y=at+b)． 常见考点 考点一 判断随机试验中的随机变量 典例1．下列变量中，不是随机变量的是（ ） A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两颗骰子，所得点数之和 D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数 【答案】B 【分析】 根据随机变量的定义进行判断. 【详解】 解：因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量， 所以不是随机变量. 故选：B 【点睛】 本题主要考查随机变量的概念，解决问题的关键是对随机变量这一概念的理解程度. 变式1-1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( ) A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数 C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数 【答案】A 【分析】 根据随机变量的定义可得到结果. 【详解】 抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件 出现点的次数不能作为随机变量 本题正确选项： 【点睛】 本题考查随机变量的定义，属于基础题. 变式1-2．10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【答案】C 【分析】 由题意逐一考查所给的选项即可. 【详解】 逐一考查所给的选项： A中取到产品的件数是一个常量而不是变量, B,D中的量也是一个定值, 而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量. 本题选择C选项. 【点睛】 本题主要考查随机变量的定义，属于基础图. 变式1-3．下列变量中不是随机变量的是. A．某人投篮6次投中的次数 B．某日上证收盘指数 C．标准状态下,水在100时会沸腾 D．某人早晨在车站等出租车的时 【答案】C 【详解】 由随机变量的概念可知. 标准状态下,水在100时会沸腾不是随机变量. 考点二 随机变量的取值 典例2．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ） A．25 B．10 C．15 D．9 【答案】D 【分析】 根据有放回抽样，将号码之和可能的情况列举求解. 【详解】 由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. 故选：D 变式2-1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】 根据逐次试验可得正确的选项. 【详解】 由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁， 故选：B. 变式2-2．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】 依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值； 【详解】 解：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个． 故选：B 变式2-3．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用表示取出球的最小号码，则的取值为（ ） A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，4 【答案】C 【分析】 根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】 根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C