4.2.5正态分布-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.2随机变量 4.2.5 正态分布 知识梳理 一、正态曲线 1.定义:一般地，函数φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ(x)也常记为φμ，σ(x)).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的标准差. 2.正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 二、正态分布： 如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ 和σ的正态分布，记作X~N(μ ，σ2 ). μ是X的平均值， σ是X的标准差，σ2是X的方差. 由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ ，σ2 )，那么 P(X≤μ )= P(X≥μ )=0.5， P(|X –μ|≤σ)= P(μ-σ≤X≤μ+σ ) ≈68.3％， P(|X –μ|≤2σ)= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ ) ≈95.4％， P(|X –μ|≤3σ)= P(μ- 3σ≤X≤μ+ 3σ ) ≈99.7％. 常见考点 考点一 正态密度函数与正态曲线的性质 典例1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 由正态分布密度函数的概念即得. 【详解】 由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 变式1-1．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是 A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 【答案】B 【分析】 分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案. 详解：密度函数， 该市这次考试的数学平均成绩为80分 该市这次考试的数学标准差为10， 从图形上看，它关于直线对称， 且50与110也关于直线对称， 故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同. 故选B. 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解. 变式1-2．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 根据正态密度函数中和的意义判断. 【详解】 因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称， 所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边， 所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图象，可知正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D 变式1-3．以下关于正态密度曲线的说法中正确的个数是（ ） ①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交； ②曲线关于直线对称； ③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与轴之间的面积为. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正态密度曲线的特点依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】 正态密度曲线的特点如下： 位于轴的上方，左右两侧与轴无限接近，但与轴不相交，①错误； 曲线的对称轴为，②正确； 曲线是“中间高，两边低”的钟形形状，③正确； 曲线与轴围成的区域面积为，④正确. 故选：C. 考点二 指定区间的概率 典例2．若随机变量，且，则（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】 根据正态分布的对称即可计算结果. 【详解】 解：根据正态分布的对称性， . 故选：A. 变式2-1．已知X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ） A．0.954 B．0.046 C．0.977 D．0.023 【答案】D 【分析】 根据正态分布曲线的性质求解即可. 【详解】 由题意知，正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(X＜－2)＝0.5－P(－2≤X≤2)＝0.5－＝0.022 8. 故选：D. 变式2-2．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.2 【答案】B 【分析】 根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】 依题意，， 所以. 故选：B 变式2-3．已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A． B． C． D．