4.2.2离散型随机变量的分布列-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第四章 概率与统计 4.2随机变量 4.2.2离散型随机变量的分布列 知识梳理 1.离散型随机变量的分布列 （1）一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn （2）离散型随机变量X的概率分布还可以用图（1）或图（2）来直观表示，其中，图（1）中，xk上的矩形宽为1､高为pk，因此每个矩形的面积也恰为pk；图（2）中，xk上的线段长为pk. （3）离散型随机变量的分布列必须满足： ①pk≥0，k=1，2，…，n；②pk=p1+p2+…+pn=1.； 2.随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：（1）当a≠b时，事件X=a与X=b互斥； （2）事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)+P(X>a)=1. 3.离散型随机变量 取值 特点 一一列出 对于随机变量所有可能取的值都能一一列举出来 有限性 离散型随机变量只取有限个值 4.当X与Y都是离散型随机变量而且Y=aX+b(a≠0)时，X与Y的分布列分别如下表所示，它们的第二行的概率值是一样的. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn Y=aX+b ax1+b ax2+b … axk+b … axn+b P p1 p2 … pk … pn 5.两点分布 （1）一般地，如果随机变量X分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1-p 则称随机变量X服从参数为p的两点分布. （2）一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率. 常见考点 考点一 简单离散型随机变量分布列 典例1．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列． 【答案】答案见解析 【分析】 根据题意可知所得金额的可能取值为3,7,11，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】 设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11. P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝， P(X＝11)＝＝. 故X的分布列为 X 3 7 11 P 变式1-1．一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则求X的分布列. 【答案】 X 2 3 4 P 【分析】 由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列 【详解】 由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 变式1-2．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【分析】 （1）记取到的次品数为，则的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得； 【详解】 解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共种情况；记取到的次品数为， 取到的次品数值可能为0，1，2， 其中；；； 取到的次品数的分布列为： 0 1 2 （2）由（1）得：至少取到1件次品的概率． 变式1-3．2019年某市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67，82，78，86，96，81，73，84，76，59，85，93，其中成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现从这12件作品中任意抽取3件. （1）恰好抽到2件优秀作品的概率； （2）若抽到优秀作品的件数为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列见解析. 【分析】 （1）先由题意，得到12件作品中，优秀作品有件，非优秀作品有件，结合古典概型的概率计算公式，即可得出结果； （2）由题中条件，得出的可能值，分别求出对应的概率，即可得出