必考点17 导数的运算-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点17 导数的运算 题型一 利用导数公式求函数的导数 例题1求下列函数的导数： (1)y＝x－3； (2)y＝3x； (3)y＝ ； (4)y＝log5x； (5)y＝cos； (6)y＝sin ； (7)y＝ln x； (8)y＝ex. 【解析】(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln 3； (3)y＝＝＝＝x，∴y′＝x； (4)y′＝；(5)y＝sin x，y′＝cos x； (6)y′＝0；(7)y′＝；(8)y′＝ex. 不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导． 【解题技巧提炼】 求简单函数的导数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 题型二 利用导数公式求曲线的切线方程 例题1已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 【解析】∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝e＝，即切线斜率为. ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程． 【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q(a，b)． 则切线斜率k＝y′|x＝a＝， 又k＝＝，且b＝ln a ∴a＝e，b＝1，∴切线方程为x－ey＝0. 【解题技巧提炼】 (1)求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的； (2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值． 题型三 利用运算法则求函数的导数 例题1根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y＝x2－2x－4ln x； (2)y＝x·tan x； (3)y＝； (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (5)y＝x＋sin cos . 【解析】(1)y′＝2x－2－. (2)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝ ＝. (3)y′＝＝ (4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋sin x ∴y′＝′＝x′＋′＝1＋cos x. 【解题技巧提炼】 【方法归纳】 利用导数的公式及运算法则求导的思路 题型四 导数运算法则的综合应用 例题1已知曲线y＝在(2,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值． 【解析】因为y′＝＝－ 所以y′|x＝2＝－1即－＝－1所以a＝2. 【变式探究1】本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离． 【解析】由例2知切线方程为x＋y－4＝0 直线方程x＋y＋＝0 所以所求距离d＝＝. 【变式探究2】本例条件不变，求与直线y＝－x平行的过曲线的切线方程． 【解析】由例2知y′＝－ 令－＝－1 得x＝0或2 所以切点为(0,0)和(2,2)， 所以切线方程为x＋y－4＝0. 【解题技巧提炼】 关于求导法则的综合应用 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 题型五 求复合函数的导数 例题1写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y＝； (2)y＝cos(2 008x＋8)； (3)y＝21－3x； (4)y＝ln(8x＋6)． 【解析】(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x. 则函数y＝是由函数f(u)＝＝u－4 与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的． 查导数公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得′＝f′(u)φ′(x) ＝－·(－4)＝＝. (2)引入中间变量u＝φ(x)＝2 008x＋8， 则函数y＝cos(2 008x＋8)是由函数f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，查导数公式表可得 f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008. 根据复合函数求导法则可得 [cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008 ＝－2 008sin u＝－2 008sin(2 008x＋8)． (3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x， 则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的， 查导数公式表得f′(u)