3.3.1 抛物线及其标准方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

3.3.1　抛物线及其标准方程 学　习　目　标 知　识　导　图 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.(数学抽象) 2.体会数形结合思想在抛物线问题中的应用.(直观想象) 3.会解决抛物线的简单应用问题.(数学建模) 授课提示：对应学生用书第73页 [问题导学] 1.怎样画出一条抛物线？ 2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？　　　 [知识梳理] 知识点一　抛物线的定义 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 焦点 点F叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的准线 集合表示 P＝{M||MF|＝d}，d为点M到准线l的距离 微练习 1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆　　　　　　　　　 B.抛物线 C.直线 D.双曲线 解析：由抛物线定义知，动点轨迹为抛物线. 答案：B 2.平面内到点A(2,3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.圆 解析：A∈l，轨迹为过A且与l垂直的一条直线. 答案：A 知识点二　抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p＞0) x＝－ y2＝－2px (p＞0) x＝ x2＝2py (p＞0) y＝－ x2＝－2py (p＞0) y＝ 微练习 3.抛物线x2＝y的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________. 解析：抛物线开口向上，且2p＝，p＝，＝，故焦点坐标为，准线方程为y＝－. 答案：上　　y＝－　 4.若抛物线的准线方程是x＝5，则其标准方程为________，焦点坐标为________. 解析：由已知得焦点坐标为(－5,0)，＝5，p＝10,2p＝20，所以抛物线标准方程为y2＝－20x. 答案：y2＝－20x　(－5,0) 授课提示：对应学生用书第74页 题型一　求抛物线的焦点及准线 [例1]　指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向. (1)y＝x2; (2)x＝ay2(a≠0). [解析]　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y， ∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上. (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，∴2p＝. ①当a>0时，＝，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a<0时，＝－，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左. 1.先将拋物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p值. 2.拋物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标，准线x＝－，不必讨论a的正负. [跟踪训练] 1.(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　) A.(0,2)　　　　　　　　 B.(0，－2) C.(4,0) D.(－4,0) (2)若抛物线y2＝ax的准线方程为x＝1，则a＝________. 解析：(1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2). (2)y2＝ax的准线方程为x＝－，解－＝1，a＝－4. 答案：(1)A　(2)－4 题型二　求抛物线的标准方程 [例2]　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3,2)； (3)焦点在直线x－2y－4＝0上； (4)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. [解析]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)由题知(－3,2)在第二象限，设抛物线方程为 y2＝－2px或x2＝2py(p>0)， 将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝， 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y. (3)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2). 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4,0). 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由＝4，得2p＝16， ∴所求抛物线的方程为y2＝16x. (4)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 1.用待定