课时分层作业2 数列的递推公式与an和Sn的关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(二)　数列的递推公式与an和Sn的关系 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.] 2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　) A．　　　　D．6　　　　C．　　　　B． B　[由an＋1＝.故选B.]＋1＝，a4＝＋1＝＋1＝3，a3＝＋1，a1＝1得，a2＝ 3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 020＝(　　) A．6 B．－6 C．3 D．－3 D　[a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an.∴a2 020＝a6×336＋4＝a4＝－3.所以D选项是正确的．] 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于(　　) A．－16 B．16 C．31 D．32 B　[由Sn＝2an－1知a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1，又n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，∴an＝2an－1.∴n＝2，3，4，5时，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16.故选B.] 5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝，则n的值等于(　　)若an＝ A．7 B．8 C．9 D．10 C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝，所以n＝9.]＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，a7＝，a6＝1＋a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝ 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________. 　[根据递推公式，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1， 由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1. 经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，∴an＝] 7．已知数列{an}中，a1＝(n≥2)，则a2 020的值是________．，an＝1－ (n≥2)，，an＝1－　[数列{an}中，a1＝ 可得a2＝－3；a3＝.]；所以数列的周期为3，a2 020＝a673×3＋1＝a1＝；a4＝ 8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________． ，，故a2－a1＝1－－得an＋1－an＝　[法一：由an＋1＝an＋ a3－a2＝.，a10＝，所以累加得a10－a1＝1－－，…，a10－a9＝－，a4－a3＝－ 法二：由an＋1＝an＋.]＝a1＋1＝2，即a10＝，故a10＋＝an＋，得an＋1＋ 三、解答题 9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an. [解]　将an＋1＝两边同时取倒数得： ，＝ 则，＋＝ 即，＝－ ∴，＝－，…，＝－，＝－ 把以上这(n－1)个式子累加， 得.＝－ ∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)． 10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项． [解]　假设第n项an为最大项，则 即，))≥(n＋3(·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))，,(n＋2(·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))≥(n＋1(·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7))) 解得即4≤n≤5， 所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝. 11．(多选题)已知函数f (x)＝，an＋1＝f (an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)若数列{an}满足a1＝ A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列 C．a2 020＋a2 021＝ D．a2 020＋a2 021＝ BC　[a2＝f ；－1＝＝ a3＝f ；－1＝＝ a4＝f ；＝＋＝ a5＝f ；－1＝＝2× a6＝f ；－1＝＝2× … ∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 020＋a2 021＝a4＋a5＝.∴C正确，D错误．故选BC.] 12．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　) A．2n－1 B．n2 C． D． D　[设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，Tn－1＝(n－1)