课时分层作业1 数列的概念及简单表示法-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(一)　数列的概念及简单表示法 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是(　　) A．an＝1＋(－1)n＋1　　 B．an＝1－(－1)n C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ C　[经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．] 2．已知数列－1，，…，则它的第5项为(　　) ，…，(－1)n，－ A．　　　　 B．－ C．　　　 D．－ D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·.] ＝－，当n＝5时，该项为(－1)5· 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 B　[∵an＋1－an＝＜0，＝－ ∴an＋1＜an.故该数列是递减数列．] 4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　) A．103 B．108 C．103 D．108 D　[把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.]＝7 5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　) A．20 B．28 C．0 D．12 A　[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.] 二、填空题 6．已知数列，…，则它的第10项是________．，，， .]＝.所以第10项a10＝　[根据数列的前几项，可归纳an＝ 7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________． 9　[由an＝19－2n>0，得n<. ∵n∈N*，∴n≤9.] 8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________. 2　[∴a2－a＝2， ∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1. 又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2.] 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，…；，，， (2)1，3，6，10，15，…； (3)7，77，777，…. [解]　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即.，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝，，， (2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即.，…，因而有an＝，，，， (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，因而有an＝(10n－1)． 10．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内． [解]　设f(n)＝ ＝.＝ (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝. (2)令，得9n＝300.＝ 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝，＝1－＝ 又n∈N*， ∴0<<1，∴0<an<1. 即数列中的各项都在区间(0，1)内． 11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是(　　) A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 BCD　[结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．] 12．(多选题)已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是(　　) A．2　　　B．　　　D．3　　　C． BC　[根据题意，an＝f(n)＝综上可得2＜a＜3，故应选BC.]据此有：，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有 13．(一题两空)根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点． 21　n2－n＋1　[观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．] 14．(一题两空)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长