课时分层作业10 等比数列前n项和的性质及应用-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　) A．7　　 B．8　　　　C．15　　　　D．16 C　[由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2， ∴q＝2，∴S4＝＝15.] 2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　) A． D． C． B． B　[显然公比q≠1， 由题意得 解得或 ∴S5＝.]＝＝ 3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400 A　[依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)． 即(S20－10)2＝10(70－S20)， 解得S20＝－20或S20＝30， 又S20＞0， 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.] 4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　) A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240 C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2， ∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250， 故选C.] 5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．30 B．20 C．10 D．5或40 A　[设等差数列的公差为d， 因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6， 即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)， 即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)， 解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3， 所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.] 二、填空题 6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________. －1　[由an＋1＝can知数列{an}为等比数列． 又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.] 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________. 2　[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1， S2n＝， S奇＝. 由题意得.＝ ∴1＋q＝3，∴q＝2.] 8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________. 2n－1　[设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，则 S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d， 因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得 5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2， an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.] 三、解答题 9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． [解]　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝.＝ 又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12. 故所求通项公式为an＝12×. 10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. 11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．＋1＝