课时分层作业9 等比数列的前n项和公式-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　) A．31　 B．32　　　C．63　　　D．64 C　[在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.] 2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－2－n)(1－4－n) D． C　[∵a3＝1，a6＝，∴a1＝4，，∴q＝ ∴a1a2＝8， ∵ ＝q2＝ ∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列． ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．] 3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝(　　) A．－2 B．－1 C． D． B　[由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝a1＋2，解得a1＝－1.故选B. ]a1＝3×代入S2＝3a2＋2中得a1＋，将q＝ 4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　) A． D．或5 C．或5 B． C　[设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得.] )),1－\f(1,2))＝为公比的等比数列，前5项和为是以1为首项，，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列＝ 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝381，解得a1＝3.＝ 故选B.] 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 2n－1－(－2)n－1，　[由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝ ∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝.] ＝2n－1－ 7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.] 8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 6　[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102， 又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.] 三、解答题 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. [解]　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，从而q＝－. (2)由已知可得a1－a1＝3， 故a1＝4. 从而Sn＝)).)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝ 10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn. [解]　(1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2. (2)bn＝， ＝(3n－2)×＝ ∴Tn＝1×. ① ＋…＋(3n－2)×＋7×＋4× ①×. ② ＋(3n－2)×＋…＋(3n－5)×＋7×＋4×Tn＝1×得 ①－②得，， －(3n－2)××－＝－(3n－2)×＋3×＝－(3n－2)×＋…＋3×＋3×＋3×＋3×Tn＝ ∴Tn＝.×－＝×－×－ 11．(多选题)设等比数列<0.则下列结论正确的是(　　)的公比为q，其前n项和为