课时分层作业8 等比数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(八)　等比数列的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　) A．1　　 B．2　　　　C．4　　　　D．8 A　[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝. 所以a5＝a1·24＝·24＝1. 法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16. 又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4. 又a7＝a5×q2，则a5＝＝1.] 2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21. ∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.] 3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 B　[由题意得，a1a99＝16， ∴a40a60＝a＝a1a99＝16， 又∵a50>0，∴a50＝4， ∴a40a50a60＝16×4＝64.] 4．在各项不为零的等差数列的值为(　　)是等比数列，且b2 018＝a2 018，则log2＋2a2 019＝0，数列中，2a2 017－a A．1 B．2 C．4 D．8 C　[因为等差数列＝0， ＋2a2 019＝ 4a2 018－a中a2 017＋a2 019＝2a2 018，所以2a2 017 －a 因为各项不为零，所以a2 018＝4，因为数列＝log216＝4，故选C.]＝16.所以log2是等比数列，所以b2 017·b2 019＝a 5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以等于(　　) 为首项的等比数列，则 A．或 B． C． D．以上都不对 B　[不妨设，其另一根为4， 是x2－mx＋2＝0的根，则m＝ 对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝2， ∴等比数列为，x1，x2，4， ∴q3＝＝8，∴q＝2， ∴x1＝1，x2＝2， ∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3， ∴，故选B.] ＝是方程x2－nx＋2＝0的根，解得.同理，若x＝＝＝ 二、填空题 6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________． 256　[因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265， 所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512. 因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.] 7．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________. .]，又an>0，∴a5＝＝4，则a5＝±，从而a3a4a6a7＝a为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a＝anan＋2，即　[∵lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，∴a 8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 50　[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.] 三、解答题 9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式． [解]　∵a1a5＝a，，a3a7＝a ∴由题意，得a＝36，－2a3a5＋a 同理得a＝100，＋2a3a5＋a ∴ ∵an＞0， ∴ 解得或 分别解得或 ∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n. 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{bn}的通项公式．，bn＝－ [解]　an＋1－2＝.＝4＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝＝，－2＝－ 又a1＝1，故b1＝＝－1， 所以.－×4n－1，bn＝－＝－，公比为4的等比数列，所以bn＋是首项为－ 11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为(　　) A．1 006 B