课时分层作业6 等差数列前n项和的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2　　 B．－1　　　　C．0　　　　D．1 B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　) A．110 B．150 C．210 D．280 D　[∵等差数列{an}前n项和为Sn， ∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列， 故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150. 又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选D.] 3．在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 018的值等于(　　)－ A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 A　[由题意知，数列＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S2 018＝－2 018.]＝为等差数列，其公差为1，所以 4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝(　　) ，则＝ A． D． C． B． D　[因为等差数列{an}和{bn}，所以，又S21＝21a11，T21＝21b11，＝＝ 故令n＝21有，故选D.]＝，所以＝，即＝＝ 5.等于(　　) ＋…＋＋＋＋ A． B． C． D． C　[通项an＝，＝ ∴原式＝ ＝ ＝.] 二、填空题 6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 5　[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.] 7．在数列{an}中，a1＝(n∈N*)，则a2 019的值为________．，an＋1＝an＋ 1　[因为an＋1＝an＋，－＝(n∈N*)，所以an＋1－an＝ a2－a1＝1－， a3－a2＝，－ … a2 019－a2 018＝，－ 各式相加，可得a2 019－a1＝1－，＝1－，a2 019－ 所以a2 019＝1，故答案为1.] 8．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________. 820　[因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3， a3－a2＝4，a4－a3＝5， …，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，，即an＝ 所以a39＝＝820.] 三、解答题 9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值． [解]　法一：.＝＝＝＝＝＝＝ 法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n. 又，∴令Sn＝tn(2n＋1)，＝ Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R. ∴an＝Sn－Sn－1 ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1 ＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ∴(n≥2)，＝＝ ∴.＝＝＝ 10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数． 因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0. 解得－.因此d＝－3. ≤d≤－ 所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n. (2)bn＝. ＝ 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋…＋＋ ＝. ＝ 11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　) A．S13＝0 B．a7＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 AB　[对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0.故A正确． 对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误． 对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D错误． 故AB正确．] 12．