课时分层作业4 等差数列的性质-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(四)　等差数列的性质 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　) A．－1　 B．－2　　　C．－3　　　D．－4 C　[由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.] 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列， 由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， ∴a3＋a4＝3＋4＝7.] 3．在等差数列{an}中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 C　[由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故选C.] 4．下列说法中正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 C　[因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．] 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为(　　) A．钱钱 D．钱 C．钱 B． B　[根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， ① a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， ② 联立①②得a＝1，d＝－.]＝，则甲所得为1－2× 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________. 132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.] 7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________． 1或2　[∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.] 8．(一题多空)在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________. 2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.] 三、解答题 9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式． [解]　法一：设{an}的首项为a1，公差为d， 则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d. 代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±. 当d＝；n－，an＝时，a1＝－ 当d＝－.n＋，an＝－时，a1＝ 法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4. a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28， ∴16－25d2＝7，∴d＝±. 当d＝；n－时，an＝a8＋(n－8)d＝ 当d＝－.n＋时，an＝－ 法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12， ∴a8＝4，∴ ∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根， ∴或 由a3＝1，a13＝7，得d＝，＝ ∴an＝a3＋(n－3)d＝.n－ 同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－.n＋ 10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为1