第17期 1.3不共线三点确定二次函数的表达式1.4二次函数与一元二次方程的联系1.5二次函数的应用(第一课时)（答案见下期）-【数理报】2021-2022学年中考数学（湘教版）

书 纵观近年全国各地的中考试卷，我们从考查二次函 数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）相关知识的一些题目中发现 了一个亮点，那就是利用其图象（抛物线）来确定ａ，ｂ，ｃ 的符号．解题的关键在于把二次函数的性质和图象有效 地结合起来，即运用数形结合的思想方法加以解决． 一、明确作用 对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象， （１）ａ决定开口方向．当ａ＞０时，抛物线开口向上； 当ａ＜０时，抛物线开口向下． （２）ｂ和ａ共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物 线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的对称轴是直线ｘ＝－ｂ２ａ， 故当ｂ＝０时，对称轴为ｙ轴；当 ｂａ＞０时，对称轴在ｙ轴 的左侧；当 ｂ ａ ＜０时，对称轴在ｙ轴的右侧． （３）ｃ的大小决定抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与 ｙ轴交点的位置．当ｃ＝０时，抛物线经过原点；当ｃ＞０ 时，与ｙ轴交于正半轴；当ｃ＜０时，与ｙ轴交于负半轴． 温馨提示：以上三点中，当条件和结论互换时，就可 以确定ａ，ｂ，ｃ的符号了． 二、典例精析 例　（２０２１达州）如图，已知 抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ为 常数，ａ≠０）经过点（２，０），且对 称轴为直线ｘ＝１２，有下列结论： ①ａｂｃ＞０；②ａ＋ｂ＞０；③４ａ＋２ｂ ＋３ｃ＜０；④无论ａ，ｂ，ｃ取何值，抛 物线一定经过（ ｃ ２ａ，０）；⑤４ａｍ ２＋４ｂｍ－ｂ≥０，其中正确 结论有 （　　） Ａ．１个　　　Ｂ．２个　　　Ｃ．３个　　　Ｄ．４个 分析：由题意得到抛物线的开口向上，对称轴为直 线ｘ＝－ｂ２ａ＝ １ ２，判断ａ，ｂ与０的关系，根据抛物线与ｙ 轴交点的位置确定ｃ与０的关系，从而得到ａｂｃ＞０，即可 判断①；根据抛物线对称轴方程可得ａ＋ｂ＝０，即可判 断②；根据抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点（２，０）以及ｃ ＜０，得到４ａ＋２ｂ＋３ｃ＜０，即可判断③；先根据ａ＋ｂ＝ ０和４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０得ｃ＝－２ａ，再根据对称性可知，抛 物线过点（－１，０），即可判断④；根据ｂ＝－ａ，把ｂ换成 －ａ，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤． 解：①因为对称轴在ｙ轴的右侧，所以ａｂ＜０，因为 抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴负半轴上，所以ｃ＜０，所以 ａｂｃ＞０，故①正确；②因为抛物线的对称轴为直线ｘ＝ １ ２ ＝－ ｂ ２ａ，所以－２ｂ＝２ａ，所以ａ＋ｂ＝０，故②不正确； ③因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ为常数，ａ≠０）经 过点（２，０），所以４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０，因为ｃ＜０，所以４ａ＋ ２ｂ＋３ｃ＜０，故③正确；④由对称性可知，抛物线与ｘ轴 的另一交点为（－１，０），则有 ａ－ｂ＋ｃ＝０， ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝０{ ，解得ｃ＝ －２ａ，所以 ｃ２ａ＝－１，所以当ａ≠０时，无论ｂ，ｃ取何值， 抛物线一定经过（ ｃ ２ａ，０），故④正确；⑤因为ｂ＝－ａ，所 以４ａｍ２＋４ｂｍ－ｂ＝４ａｍ２－４ａｍ＋ａ＝ａ（４ｍ２－４ｍ＋ １）＝ａ（２ｍ－１）２．因为ａ＞０，所以ａ（２ｍ－１）２≥０，即 ４ａｍ２＋４ｂｍ－ｂ≥０，故⑤正确； 本题正确的有①③④⑤，共４个． 故选Ｄ． 书 上期３版 一、１．Ｄ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．Ｃ； ６．Ｂ；　７．Ｄ；　８．Ｄ． 二、９．ｙ＝πｘ２＋１０πｘ； １０．直线ｘ＝１； １１．＞；　１２．ｍ≥－１； １３．６；　１４．槡３． 三、１５．（１）由 ｍ２－４ ≠０，解得ｍ≠±２．故当ｍ ≠±２时，ｙ是 ｘ的二次函 数． （２）由ｍ２－４＝０，解 得ｍ＝±２．由ｍ２－３ｍ＋２ ≠０，解得ｍ≠１，ｍ≠２．所 以ｍ＝－２．因此，当 ｍ ＝ －２时，ｙ是ｘ的一次函数． １６．（１）抛物线 Ｃ２的 函数关系式为ｙ＝ｘ２－４ｘ ＋３． （２）由（１）可得点 Ａ 坐标为（４，３），它关于直线 ｘ＝２对称的点为（０，３）， 由图象知，当ｙ２＜ｙ１时，ｍ 的取值范围为０＜ｍ＜４． １７．（１）点Ａ，Ｂ的坐标 分别为（３，９），（－１，１）． （２）设直线ｙ＝２ｘ＋３ 与ｙ轴交于点 Ｃ（０，３），即 ＯＣ＝３，则Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２×３×３＋ １ ２ ×３×１＝６． １８．（１）因为ｙ＝ｙ１＋ ｙ２，ｙ１与 ｘ２成正比，ｙ２与 ｘ－２成正比，所以设 ｙ１ ＝ ｋ１ｘ２，ｙ２ ＝ｋ２（ｘ－２），所以 ｙ＝ｋ１ｘ２＋ｋ２（ｘ－２）．因为 当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝ －１时，ｙ＝－５，所以可得 ｋ１－ｋ２ ＝１， ｋ１－３ｋ２ ＝－５ { ， 解 得 ｋ１ ＝４， ｋ２ ＝３ { ， 所以 ｙ＝４ｘ２ ＋ ３（ｘ－２）＝４ｘ２＋３ｘ－６． （２）当 ｘ＝０时，ｙ＝ ４×０２＋３×０－６＝－６．故 当ｘ＝０时，ｙ的值是 －６． １９．（１）由题意知，当 ５０＜ｘ≤８０时，ｙ＝２１０－ 书 上期２