第04练 相似的几何证明与计算专题-2021-2022学年九年级数学下册同步精品随堂讲义+练习+检测(人教版)

第04练 相似的几何证明与计算专题 1、如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，M为BC上一点，AM交DE于N. (1)若AE＝4，求EC的长； (2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值． 【答案】 解：(1)∵DE∥BC，∴＝＝. ∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2. (2) ∵M为BC的中点，∴S△ABM＝S△ABC＝18. ∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴＝＝，∴S△ADN＝8. 2、如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由． 【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，所以，代入数据即可求出CE的长度． （2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，所以△ADP∽△ABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴， ∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6． （2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ，∴，同理可得：，∴ 3、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G. (1)若FD＝2，＝，求线段DC的长； (2)求证：EF·GB＝BF·GE. 【答案】 (1) 解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝， ∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4. (2) 证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG， ∴＝，＝.∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE， ∴＝，∴EF·GB＝BF·GE. 4、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ACD∽△BFD； (2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长． 【答案】 (1) 证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°， ∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD. (2) 解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD， ∴＝＝1，∴BF＝AC＝3. 5、如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP； (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 【答案】 (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C. ∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP. ∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP. （2）解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP. ∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C. 又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝. ∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝. 6、如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 【答案】 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD. 在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG. （2）∵∠EAG＝∠DCG，∠F＝∠DCG， ∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA， ∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF. 7、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)若FD＝2FB，求的值； (2)若AC＝2，BC＝，求S△FDC的值． 【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝∠DCB. ∵E是AC的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA. ∵∠BDF＝∠EDA，∴∠DCB＝∠BDF. 又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2. （2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB. ∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，∴BD∶CD＝BC∶AC＝∶2＝1∶2. 在Rt△BAC中，由勾股定理可得AB＝5，∴＝＝，∴S△BDC＝××2×＝3. ∵△BDF∽△DCF，∴＝＝，即＝. ∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4. 8、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝. 【答案】证明：∵AB＝AD，∴∠AD