第5章 二次函数（压轴题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（苏科版）

第5章 二次函数压轴题专练 一、单选题 1．（2021·江苏·常州市第二十四中学一模）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④． 【详解】解：由函数图像的开口向下得＜ 由对称轴为＞ 所以＞ 由函数与轴交于正半轴，所以＞ ＜ 故①错误； ， 故②正确； 由交点位置可得：＞， ＜ ＞， ＜ ＜ 故③错误； 由图像知：当 此时点在第三象限， ＜ ＜ 故④正确； 综上：正确的有：②④， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2020·江苏·无锡外国语学校九年级期末）已知关于x的一元二次方程 x ax b 0 a b 的两个根为 x1、x2，x1 x2则实数 a、b、x1、x2的大小关系为（ ） A．a x1 b x2 B．a x1 x2 b C．x1 a x2 b D．x1 a b x2 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】如图，设函数y＝（x−a）（x−b）， 当y＝0时， x＝a或x＝b， 当y＝时， 由题意可知：（x−a）（x−b）−＝0（a＜b）的两个根为x1、x2， 由于抛物线开口向上， 由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型． 3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，C是线段AB上一动点，，都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝6，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图（见解析），连接CN，先根据角的和差、等边三角形的性质可得，再设，则，利用勾股定理可得MN的长，然后利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】如图，连接CN， ∵和都是等边三角形， ∴， ， ∵N是BE的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， M是CD的中点， ， 由勾股定理得：， 设， C是线段AB上一动点，， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，y取最小值，最小值为， 则MN的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 4．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， 设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 5．（2020·江苏·杨集中学模拟预测）如果我们把函数称为二次函数的“镜子函数”，那么对于二次函数：的“镜子函数”：，下列说法：①的图像关于y轴对称；②有最小值，最小值为；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图像有三个交点时，中，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】画出函数图像，通过图像逐项判断即可得出答案. 【详解】 ①的图像关于y轴对称正确； ②有最小值，最小值为，正确； ③当方程有两个不相等的实数根时，即与的图像有两个交点，观察图像可知或时，与的图像有两个交点，所以该选项不正确； ④观察图像可知只能是两个确定的值，即图中所示两条确定的直线，才能保证直线与的图像有三个交点，而该选项表示的是的范围显然不正确. 故答案为B 【点睛】正确画出函数图形,并结合图形逐项分析. 6．（2020·江苏惠山·二模）已知二次函数y＝﹣x2