2.4圆锥曲线的应用课件-2021-2022学年高二上学期数学湘教版选修2-1

2．4　圆锥曲线的应用 学习目标 1.掌握圆锥曲线的概念、性质．　 2.能利用圆锥曲线的有关性质解决实际问题． 1.　与抛物线相关的应用问题 例1　某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过此隧道，说明理由． 【解】　如图建立平面直角坐标系．设抛物线标准方程为x2＝－2py(p>0)，则点(3，－3)在抛物线上，求得p＝eq \f(3,2)，上拱抛物线方程为x2＝ －3y，箱宽3m，故当x＝1.5时，y＝－0.75，即B(1.5，－0.75)，那么B点到底的距离为5－0.75＝4.25 (m)，而车与箱的高为4.5m，故不能通过． 2.　天体运动的轨道 例2　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为eq \r(ab)百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． 【解】　设所求轨道方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， c＝eq \r(a2－b2).因为a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， 所以a＝438，c＝396， 于是b2＝a2－c2＝35 028. 所以所求轨道方程为eq \f(x2,191 844)＋eq \f(y2,35 028)＝1. 设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，则 xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝ab≈81 975.1，2,0)eq \f(x,191 844) ＋2,0)eq \f(y,35 028) ＝1， 解得x0≈239.7，y0≈156.7(由题意x0>0，y0>0)． 所以探测器在变轨时与火星表面的距离为 2,0)eq \r(（x0－c）2＋y) －R≈187. 所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 练一练　有一幅椭圆形彗星轨道图，长4cm，高2eq \r(3)cm.如图所示，已知O为椭圆中心，A1，A2是椭圆长轴的两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处．试建立恰当的坐标系，求出椭圆方程，并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离． 解：建立如图所示的坐标系，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)． 依题意有2a＝4，2b＝2eq \r(3)， 所以a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1， 故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，F为(－1，0)， 将x＝－1代入椭圆方程得y＝±eq \f(3,2)， 即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为1.5cm. 3.　与双曲线有关的实际应用问题 例3　某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告．正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020m．试确定该巨响发生的位置．(假设当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) 【解】　如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴的正向，建立平面直角坐标系．设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(－1 020，0)， B(1 020，0)，C(0，1 020)．设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因为B点比A点晚4s听到巨响声，所以|PB|－|PA|＝340×4＝1 360. 由双曲线的定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上．依题意，得a＝680，c＝1 020， b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402. 故双曲线方程为eq \f(x2,6802)－eq \f(y2,5×3402)＝1. 又点P在y＝－x上，用y＝－x代入上式， 得x＝±680eq \r(5). 因为|PB|>|PA|，所以x＝－680eq \r(5)， 即P(－680eq \r(5)，680eq \r(5))，故|PO|＝680eq \r(10). 所以巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680eq \r(10)m处． 总结 1．求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程．建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单． 2．抛物