浙江省2020届高考模拟数学试题分类汇编（三模）空间向量与立体几何小题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 空间向量与立体几何小题 一、单选题 1．（2020·浙江省长兴中学高二月考）在四面体中，，，，点P是棱上的动点，点Q为棱的中点，记直线与直线所成的夹角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将该四面体补全为一个正方体，然后取特殊点使用排除法，简单判断可得结果. 【详解】 由题可知：，， 所以，， ,所以, 平面 所以平面， 又平面，所以平面 将该四面体补全为一个正方体，如图 当为的中点时，为的中点， 可知//，//， 所以平面， 所以，，则，故排除C 当为点时，， 所以，故排除A、B 故选：D 【点睛】 本题考查线线角、线面角、面面角之间的关系，对选择题、填空题可以使用特殊值法以及排除法，化繁为简，便于计算，属中档题. 2．（2020·浙江·镇海中学三模）已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于三点，，，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，根据已知条件设、、，不妨设，则为直角，所以推出，利用基本不等式即可求得斜边的最小值. 【详解】 取，分别为，的中点，连接，，根据题意以为原点， ，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 点在侧棱上，设，点在上，设， 点在上，设，不妨设，则， ．因为为直角三角形，由，得为直角， 所以，即，斜边， 当且仅当时取等号. 故选D． 【点睛】 本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题． 3．（2021·全国·高二课时练习）在三棱柱中，是棱上的点（不包括端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设三棱柱是棱长为的正三棱柱，是棱的中点，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出. 【详解】 设三棱柱是棱长为的正三棱柱，是棱的中点， 以为原点，在平面中，过作的垂线为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 直线与直线所成的角为， , 直线与平面所成的角为， 平面的法向量， ， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 二面角的平面角为， ， ， 故选：D 【点睛】 本题考查了空间向量法求异面直线所成的角、线面角、面面角，考查了计算求解能力，属于中档题. 4．（2020·浙江·三模）如图，△ABC中，AB⊥BC，∠ACB＝60°，D为AC中点，△ABD沿BD翻折过程中，直线AB与直线BC所成的最大角、最小角分别记为α1，β1，直线AD与直线BC所成最大角、最小角分别记为α2，β2，则有（ ） A．α1＜α2，β1≤β2 B．α1＜α2，β1＞β2 C．α1≥α2，β1≤β2 D．α1≥α2，β1＞β2 【答案】D 【分析】 翻折到180°时，AB，BC所成角最小，β1＝30°，AD，BC所成角最小，β2＝0°，翻折0°时，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°，翻折过程中，可知AD的投影可与BC垂直，从而AD，BC所成最大角α2＝90°，推导出α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°. 【详解】 翻折到180°时，AB，BC所成角最小，可知β1＝30°， ，AD，BC所成角最小，β2＝0°， 翻折0°时，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°， 翻折过程中，可知AD的投影可与BC垂直， 所以AD，BC所成最大角α2＝90°， 所以α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°. 故α1≥α2，β1＞β2. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查翻折问题，直线与直线的位置关系，还考查了空间想象，逻辑推理的能力，属于中档题. 5．（2020·江西·吉安县立中学高二期中（理））如图，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为60°，A，B是1上的两个定点，且AB＝2．C∈α，D∈β，满足AB与平面BCD所成的角为30°，且点A在平面BCD上的射影H在△BCD的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意：点H的轨迹是以点B为球心，以为半径的球与以AB为轴，母线AH与轴AB成60°的圆锥侧面交线的一部分，该部分是圆心角为的弧长，只要求出半径即可. 【详解】 如图所示： 因为AB与平面BCD所成的角为30°，且点A在平面BCD上的射影H， AB＝2， 所以， 所以点H在以点B为球心，以为半径的球面上， 又点H在以AB为轴，以AH为母线的圆锥的