浙江省2020届高考模拟数学试题分类汇编（三模）计数原理与概率统计小题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 计数原理与概率统计小题 一、单选题 1．（2021·全国·高二专题练习（理））甲、乙、丙、丁四个人到，，三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到景点的方案有（ ） A．18种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】D 【分析】 根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解. 【详解】 由题意，可分为两种请况： （1）甲单独一个人旅游，在B、C景点中任选1个，由2种选法， 再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有种情况， 所以此时共有种方案； （2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游， 先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B、C景点中任选1个，有种情况， 将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有种情况， 所以此时共有种方案， 综上，可得甲不到景点的方案有种方案. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 2．（2021·全国·高三专题练习（理））抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1，2.若n1＝3，n2＝5，则（ ） A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2） 【答案】A 【分析】 由n1＝3，求出ξ1的分布列，从而求出E（ξ1），D（ξ1）；由n2＝5，求出ξ2的分布列，从而求出E（ξ2），D（ξ2）；进而得到E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）. 【详解】 解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次， 设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1，2， ∵n1＝3，∴ξ1的分布列为： ξ1 1 2 3 P ， ＝（1）2（2）2（3）2. ∵n2＝5，∴ξ2的分布列为： ξ2 1 2 3 4 5 P ， ＝（1）2（2）2（3）2（4）2（5）2， ∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）. 故选：A. 【点睛】 求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行： （1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； （2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率； （3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验. 3．（2020·江苏·南京市第二十九中学高二月考）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ） A．330种 B．345种 C．360种 D．375种 【答案】C 【分析】 根据5人中是否有人购买型口罩分类，再按照平均分组和不平均分组计算求值. 【详解】 若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有 种方法，若这5人有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法， 综上可知，一共有种方法. 故选：C 【点睛】 本题考查排列组合的应用，重点考查分步分类计数原理的应用，属于中档题型，本题的关键是分类准确，区分平均分组和不平均分组. 4．（2020·全国·高三专题练习（理））已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为 则下列说法正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】 根据数学期望公式可得，再根据方差公式得，利用基本不等式求范围，即得结果. 【详解】 因为 （当且仅当时取等号） 因为 故选：C 【点睛】 本题考查数学期望与方差、利用基本不等式求值域，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．（2021·山西怀仁·高二期中（理））设0＜a，随机变量X的分布列为： X ﹣2 ﹣1 1 2 P a a 则当a在增大时，（ ） A．D（X）增大 B．D（X）减小 C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大 【答案】C 【分析】 根据公式D（X）＝E（X2）﹣（EX）2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论. 【详解】 由题意可