浙江省2020届高考模拟数学试题分类汇编（三模）函数与导数小题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 函数与导数小题 一、单选题 1．（2020·浙江·镇海中学三模）设，已知函数，，，记函数和的零点个数分别是，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】 根据题意需分、和三种情况讨论，为简单起见.只讨论的情况，时，分和两种情况；时，根据的取值分五种情况讨论，最后判断即可. 【详解】 解：令，， ，递增， ，递减， 时，有最小值， ， 在同一坐标系下，作出函数和的图象如下， 以下分三种情况讨论， （1），作出函数的图象如下， 令，则，转化为和， 若，函数的图象和有2个交点， ①当时，有2个零点，分别记为，且 ， 当时，即显然无解， 当时，即显然无解，所以； ②当时，有2个零点，分别记为， 当时，即显然无解， 当时，即显然有2解，所以； ③当时，有2个零点，分别记为，且 ， 当时，即可能有0解、1解、2解， 当时，即有2解， 所以若，则，或，或，或. 若，即函数的图象和有1个交点， ④或时，有1个零点，此时，； ⑤时，无零点. 综合以上有，若，则； 若，则，或，或，或. （2）和（3）的情况和（1）相同. 所以若，则，正确. 故选：A. 【点睛】 考查复合函数零点个数的判断以及逻辑推理，函数零点个数转化为方程解的个数或函数图象交点的个数；作为选择题，计算量太大，思维能力太高，本题太难. 2．（2020·浙江平湖·三模）设，数列满足，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】 当时，，即，则，设利用导数研究出函数的的单调性，从而得到，即，得到数列单调递增，则选项A正确，B错误，当时，，即，则，设，利用导数研究出函数的的单调性，可得一定存在，使得，，使得,当（或）时有,，从而选项C, D不正确. 【详解】 当时，，即. 则，设，则 ，所以在上单调递增,且 所以当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 所以，所以 所以当时，数列单调递增，则选项A正确，B错误. 当时，，即. 则，设，则 ，所以在上单调递增,且 所以当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 所以,又， 所以一定存在，使得，，使得 当(或)时有，，即. 同理可得，，所以选项C, D不正确. 故选：A 【点睛】 本题考查利用递推数列判断数列的单调性，考查构造函数，通过分析函数的单调性，从而判断数列的单调性，属于中档题. 3．（2020·浙江建人专修学院三模）设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将函数整理为，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案. 【详解】 因为， 所以有，即 ，为辅助角， 因为， 所以， 化简得：， 由于恒成立， 则判别式： 恒成立， 即有不等式的解集为， 由韦达定理可得 故选：D 【点睛】 本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题. 4．（2020·全国·高三专题练习（理））已知，设函数，函数，若函数没有零点，则（ ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】 函数没有零点，等价于无解. 【详解】 若没有零点，即无解， 即无解， 所以无解， 整理得无解 所以. 故答案选：C. 【点睛】 本题以二次函数为载体考查复合函数零点问题，题目较难，考查学生分析转化问题的能力. 解答复合函数题目时，注意利用换元思想、整体思想等. 5．（2020·安徽·灵璧县第一中学高一月考）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（ ） A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1 【答案】B 【分析】 根据已知条件可得：对任意恒成立，即，结合二次函数的性质可求函数的最大值即可. 【详解】 因为对任意和任意恒有， 根据已知条件可得：对任意恒成立， 即， ， ， 当时有，即 故选：B 【点睛】 本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题. 6．（2020·浙江·镇海中学三模）已知函数，则方程的实根个数为 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】 令t=f(x),则方程等价于,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+的图象,由图象可得有两个交点,且的两根分别为和,当时,解得x=2,当时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程的实根个数为4,故选C. 点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题. 7．（2020·宁夏·银川一中