浙江省2020届高考模拟试题分类汇编（三模）圆锥曲线解答题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 圆锥曲线解答题 一、解答题 1．（浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题）已知抛物线上的点到焦点的距离为. （1）求的值； （2）如上图，已知动线段（在的右边）在直线上，且，现过作的切线，取左边的切点，过作的切线，取右边的切点为，当，求点的横坐标的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求的值； （2）设出和的坐标，利用导数求出过和的切线方程，由表示出、的坐标，把、代入切线方程后求出和的坐标，由两点式写出所在直线的斜率，由斜率等于，即可求出的值. 【详解】 （1）抛物线即，准线方程为：， 点到焦点的距离为，，， 因此，抛物线的方程为； （2）设、， ，，所以，直线的斜率为， 切线的方程为，即， 同理可得切线的方程为：， 由于动线段（在的右边）在直线上，且， 故可设、， 将点代入切线的方程，得，即， ， 同理可得， ，当时，，得， ，，， 得或（舍去），. 【点睛】 本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线切线方程的求解，考查计算能力，属于难题. 2．（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）如图，过点作两条直线分别交抛物线于点直线BD交直线于点Q． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）试问点C，A，Q是否共线?说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）三点共线，理由详见解析． 【分析】 （Ⅰ）设直线，然后联立直线与抛物线的方程消元韦达定理得出和，然后即可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）同理得，然后求出和，然后证明即可. 【详解】 （Ⅰ）设直线， 与抛物线联立得：． 所以，，两式消去k，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）同理得． 直线，因为点B，D在抛物线， 所以直线可以化简为， 与直线联立求出交点Q的横坐标； 直线， 同理可以求得直线AC与直线的交点E的横坐标； 若要证明C，A，Q共线，即证明．接下来证明： ，同理， 所以， 所以，所以C，A，Q共线. 【点睛】 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 3．（浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于不同的两点，. （1）求抛物线的方程； （2）是否存在与的取值无关的定点，使得直线，的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】 （1）本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点到准线的距离为2即可求出，最后根据即可求出抛物线方程； （2）本题首先可设出、、，然后联立方程并通过韦达定理得出，再然后对进行化简并根据为与无关的常数得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 （1）由题意得，准线方程：，所以，抛物线方程为. （2）假设存在定点满足题意，设，，， 联立方程，消去得，由韦达定理得， 因为直线、的斜率为、， 所以 . 要使为与无关的常数，只能，解得，， 此时为常数， 综上所述，存在定点，使得直线、的斜率之和恒为定值0. 【点睛】 本题考查抛物线的方程的求法以及抛物线中的定值问题，考查直线与抛物线相交的相关问题，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题. 4．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三下学期5月阶段性评估数学试题）如图，抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，直线经过焦点且与抛物线相交于、两点，直线、分别交轴于、两点，记、的面积分别为、. （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由题意可知，直线的斜率不为，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式与弦长公式可证得结论成立； （2）求得直线的方程，可求得点的坐标，同理可得出点的坐标，可求得的最小值，进而可求得实数的最大值. 【详解】 （1）由已知可得、， 若直线的斜率为，则该直线与抛物线不可能有两个交点，不合乎题意， 所以，直线的斜率不可能为，故可设， 联立， 设、，则，， 所以， 而， 故； （2）直线，可得，同理， 所以 ， 所以，所以的最大值为. 【点睛】 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查三角形的面积、弦长问题，同时也考查了参数的最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 5．（浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月高考仿真测试数学试题）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，其离心率.过作两条相互垂直的直线与，且交抛物线于，两点，交椭圆于另一点. （1）求的值； （2）求面积