浙江省2020届高考模拟试题分类汇编（三模）数列解答题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 数列解答题 一、解答题 1．（浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题）已知数列{an}满足，an+2＝3an+1﹣2an，a1＝1，a2＝3，记bn，Sn为数列{bn}的前n项和. （1）求证：{an+1﹣an}为等比数列，并求an； （2）求证：Sn. 【答案】（1）证明见解析；an＝2n﹣1，n∈N*；（2）证明见解析 【分析】 (1)将题干中递推公式进行转化可得，从而可证得数列{an+1﹣an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则有，n∈N*.然后根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{an}的通项公式； (2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用数学归纳法证明不等式成立，注意在具体证明过程中运用分析法证明根式不等式成立，综合即可证得不等式成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 证明：（1）依题意，由an+2＝3an+1﹣2an，可得： ， ∵a2﹣a1＝3﹣1＝2， ∴数列{an+1﹣an}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，n∈N*. 故a1＝1， a2﹣a1＝21， a3﹣a2＝22， … an﹣an﹣1＝2n﹣1， 各项相加，可得 an＝1+21+22+…+2n﹣12n﹣1，n∈N*. （2）由（1）知，bn， 下面用数学归纳法证明不等式成立， ①当n＝1时，S1＝b1， ∵右边， 要证明：， 只要证明：2， 两边平方，可得， 化简整理，得27， ∵（2）2＝40＜72＝49， ∴成立， 即当n＝1时，不等式成立. ②假设当n＝k时，不等式成立，即Sk， 则当n＝k+1时，， 要证明：Sk+1， 只要证明：， ， 化简，得， 两边平方，可得（）2≤（）2， 化简整理，得3k+7， 两边平方，可得（3k+4）（3k+10）≤（3k+7）2， 化简整理，得9k2+42k+40≤9k2+42k+49， ∵40＜49， ∴9k2+42k+40≤9k2+42k+49成立， ∴成立， 即：Sk+1成立， ∴当n＝k+1时，不等式也成立. 综上所述，可得 对n∈N*成立，故得证. 【点睛】 本题考查递推法证明等比数列，考查数学归纳法、分析法在证明数列不等式中的应用，属于中档题. 2．（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）已知数列的前n项和为，数列为等差数列，满足， （Ⅰ）求数列和的通项公式 （Ⅱ）求数列{的前2n项和． 【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）． 【分析】 （Ⅰ）当时，，，两式相减得．分奇偶讨论求解通项公式； （Ⅱ）根据奇数项和偶数项分别分组求和. 【详解】 （Ⅰ）当时，，即． 当时，，， 两式相减得． 设的公差为d，则当为偶数时，，从而，又由，从而．由此． 由此，当时，，从而．因此， ． （Ⅱ） 【点睛】 此题考查数列相关知识，根据数列递推关系求解通项公式，涉及分组求和，分奇数项和偶数项分别讨论求解. 3．（浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知数列满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【分析】 （1）对式子，变形化简得， 根据定义即可证明数列为等差数列，求出； （2）先化简，再用数学归纳法证明不等式，在证明从到的递推式时，可用分析法推导. 【详解】 解：（1）由，得， 所以数列是以1为首项1为公差的等差数列， 即，化简得. （2）因为， 下面用数学归纳法证明: ①当时，左边，右边，不等式成立； ②假设当，时不等式成立，即有 则当时，， 而此时不等式右为应为， 下面再证明， 即只需证明， 即只需证明，这显然成立， 即时，不等式也成立. 综合①②可得，成立. 【点睛】 本题考查了等差数列的概念和通项公式，还考查了与有关的不等式，可用数学归纳法证明，属于中档题. 4．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三下学期5月阶段性评估数学试题）等差数列和等比数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足：，求证：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用与的关系，可求出数列的通项公式，进而再分别求出数列，的通项公式； （2）先根据题意得出， 继而可得，然后利用错位相减法求和再证明 即可. 【详解】 （1）由①， 可得（）②， ①②得（）， 又，所以， 由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有 ， 令，有， 令，有， 解得，， 所以，； （2）由得， 所以， 令， 则， 两式相减得， 所以，即. 【点睛】 本题考查与的关系的应用，考查数列的错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 5．（浙江省宁波市镇海中学2020届高