浙江省2020届高考模拟试题分类汇编（三模）空间立体几何解答题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 空间立体几何解答题 一、解答题 1．（浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，AB＝ADCD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠PDC＝60°，E为BC的中点. （1）证明：AD⊥PE. （2）求直线PA与平面PDE所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）60° 【分析】 （1）取AD的中点O，连结PO，EO，通过PO⊥AD，EO⊥AD，推出AD⊥面PEO，即可证明AD⊥PE； （2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PDE所成角. 【详解】 （1）证明：取AD的中点O，连结PO，EO， 由PO⊥AD，EO⊥AD，PO∩EO＝O可知：AD⊥面PEO，且PE⊂面PEO， 则AD⊥PE. （2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 作PQ⊥CD，PH⊥OE，连HQ，因PH⊥平面ABCD，知HQ⊥CD， 由∠PDC＝60°知DQ＝1，OH＝DQ＝1，由， 在Rt△PHO中，可知，则， A（0，﹣1，0），D（0，1，0），E（3，0，0）， 则， 设平面PDE的一个法向量为， 则，令，得 设直线PA与平面PDE所成角为θ，则， 则直线PA与平面PDE所成角为60°. 【点睛】 本题主要考查了线线垂直的证明，空间向量的应用之求线面角，属于中档题. 2．（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）如图，正四面体ABCD的边长等于2，点A，E位于平面BCD的两侧，且，点P是AC的中点． （1）求证：平面 （2）求BP与平面所成的角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）首先取的中点，连接，，，根据已知条件易证与相似，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可. （2）取中点，连接，根据题意易证平面，设与平面所成角为，与所成的角为，得到，再利用向量法即可得到答案. 【详解】 （1）取的中点，连接，，，如图所示： 设在平面上的射影为，即平面， ， 所以为外心， ，同理可证在平面上的射影为， 即平面，所以三点共线， 即，所以四边形为平面四边形， 且为的中心，因为正四面体的边长等于， 所以，， 又，所以， 又，所以， 所以，所以， 而平面，平面，故平面. （2）取中点，连接，如图所示： 因为正四面体， 所以，，又因为， 所以平面， 设与平面所成角为， 与所成的角为，则， 设为一组基底， 则， 所以， . 因为， 所以. 又因为，， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 本题第一问主要考查线面平行，利用三角形相似证平行为解题的关键，第二问主要考查线面成角问题，同时考查了转化思想，属于中档题. 3．（浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且，交于点，是上任意一点. （1）求证：； （2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】 试题分析：（1）线线垂直问题转化为线面问题即可解决，即，（2）解法1：（空间向量在立体几何中的应用）建立空间直角坐标系，求得法向量，利用公式求解；解法2：通过构造法作出二面角的平面角, 由，求出点到平面的距离 试题解析：（1）因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又 因为 （2）解法1: 连接在中， 所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设则，． 由（1）知，平面的一个法向量为（1,0,0）， 设平面的一个法向量为，则得，令，得 因为二面角的余弦值为，所以， 解得或（舍去），所以10分 设与平面所成的角为．因为，， ∴ 所以与平面所成角的正弦值为． 解法2: 设DP=t， 作出二面角的平面角 由，求出点到平面的距离 ． 考点：1、线面垂直和线线垂直的互化；2、空间向量在立体几何中的应用；3、空间想象能力和综合分析能力． 4．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三下学期5月阶段性评估数学试题）如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）取，的中点，，连接，，，利用等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）解法一：利用线面垂直的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥体积公式进行求解即可； 解法二：建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合已知求出点的坐标，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】 解：（1）如图，取，的中点，，