浙江省2020届高考模拟试题分类汇编（三模）函数与导数解答题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模）） 函数与导数解答题 一、解答题 1．（浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题）已知实数，设函数. （1）当，时，证明：； （2）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】 （1）转化原不等式为，令，，对称轴，求导分析单调性，可得在上单调递增，在上递减，在上递增，只需证明，构造，分析单调性，即可得证； （2）求导，由为极值点，可得，，化简可得，继而构造函数可证明， 令可得，令，求导研究单调性，可证明，即得证 【详解】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1），即为 即 令，则 令 令对称轴 则 时， 时， 时， 在上单调递增，在上递减，且 在上递增 故只需证明，即证 即 令 则 在上单调递减，而 当时，，当时，即成立 当时，成立； （2） 有两个极值点 令 当时，；当时， 在上递减，上递增 故即 由 可得 则 由得，下证即 即证 等价于证明 令 故 令 则 令 则 在上递减 即 【点睛】 本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题 2．（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）已知. （1）若不存在极值点且，求的最小值； （2）当时，设函数，记 在上最大值和最小值分别为， ，若是常数，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）依据题意转化为无解，令，利用换元法，可得，然后使用并构造函数，求即可. （2）依题意可知，按，，分类讨论，对，去掉绝对值然后，继续讨论，计算可得结果. 【详解】 （1）无解. 令，即，将它代入得： . 所以，令， ∴ ∴的最小值为，此时，. （2），， 则当时，，，显然符合； 当时，，，也显然符合； 当时，， 在上，则单调递减， 在上， 若，则单调递减，则，舍； 若，则在单调递减，单调递增，则，，当且同时成立，即且，而，显然不符合； 综上：或. 【点睛】 本题考查含参数函数的应用，本题着重考查分类讨论的方法，考查对问题的分析能力以及逻辑推理能力，同时考查计算能力，属难题. 3．（浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知函数，函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若，对恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数） 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】 （1）求出函数的导数，对分、两种情况讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）由题意可知对恒成立，取可得，由可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】 （1），，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，令，可得；令，可得. 此时，函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由可得对恒成立， 取，可得， 因，则，， 则，，， 设，， 令，可得或. 当或时，；当时，. 所以，函数在上递减，在上递增，在上递减. 所以，所以. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题. 4．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三下学期5月阶段性评估数学试题）已知函数恰有一个零点，且 （Ⅰ）求a的取值范围 （Ⅱ）求的最大值 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】 （Ⅰ）有题意可知，分和结合零点存在定理求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，存在，使得方程 成立，令，若在上有零点，则即可. 【详解】 （Ⅰ）有题意可知， 当时，在R上单调递增， 因为，， 所以在区间必有一个零点，符合题意； 当时，令，得 当或时，，当时，， 所以在上递增，上递减，上递增， 故要恰有一个负零点，由， 故只需满足，即， 令，故， 解得， 所以． 综上可得a的取值范围为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得a的取值范围为，故存在，使得方程 成立， 令， 即等价于在上有零点，即， ，， 故当时，，存在零点； 当时，， 故只需， 令， 故， 解得， 所以． 可得． 综上：的最大值为． 【点睛】 本题主要考查导数与函数零点以及零点存在定理，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 5．（浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月高考仿真测试数学试题）已知函数（其中为自然对数的底数）. （1）证明：当时，； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）构造函数，对其进行求导，再对导函数进行求导，进而判断出函数在上单调递增，结合，从而证得，即原不等式成立； （2）先由特殊值求得