（原创）北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§7.1 -7.2正切函数的定义

§7.1 正切函数的定义 §7.2 正切函数的诱导公式 在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究,那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是什么样的呢? 1.理解任意角的正切函数的定义. 2.正切函数诱导公式的推导及应用. 课标要求 1.通过正切函数概念的学习，培养数学抽象素养． 2.通过正切函数诱导公式的推导及应用，培养数学运算与逻辑推理素养. 素养要求 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y=tanx,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}. 当x∈(0,)时,上述定义与初中时所学正切函数的定义是一致的. 探究点1 正切函数的定义 例1 求下列角α的正切函数值. ⑴α=-; ⑵α=. 解 ⑴因为α=-,所以sin(-)=-,cos(-)=. 由正切函数的定义,得tan(-)===-1. ⑵因为α=,所以sin=,cos=. 由正切函数的定义，得tan===-1. 例2 如图设角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0)，求角α的正切函数值. 解 设=r,因为x≠0,所以角α的终边不在y轴上.sinα=，cosα=. 由正切函数的定义,得tanα===. 通过例2我们得到一个结论: 若角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0), 则tanα=. 这个结论可以用来计算正切函数值. 由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有 tan(x+kπ)== 即 tan(x+kπ)=tanx,其中x∈R,x≠π,k∈Z. 所以kπ(k∈Z,k≠0)是正切函数的周期，π是它的最小正周期.同时,还可以得到tan(-x)===-tanx, 所以正切函数是奇函数. 探究点2 正切函数的诱导公式 正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到： 注意：⑴其中角α可以使等式两边都有意义的任意角. ⑵利用诱导公式，可将任意角的正切函数问题转化为锐角正切函数的问题. 例3 求值