重点题型训练6-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

人教A版（新教材）高二选择性必修第二册重点题型N6 第五章 一元函数的导数及其应用 考试范围：5.3.2函数的极值与最大（小）值；考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、极值图象的特征 1．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（　　） A．f（x）的极大值为，极小值为 B．f（x）的极大值为，极小值为 C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3） D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3） 【考点】函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】观察图象知，x＜﹣3时，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）． 【解答】解：观察图象知，x＜﹣3时，y＝x•f′（x）＞0， ∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，y＝x•f′（x）＜0， ∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y＝x•f′（x）＞0， ∴f′（x）＞0．x＞3时，y＝x•f′（x）＜0，∴f′（x）＜0． 由此知极大值为f（3）．故选：D． 【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用． 2．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案． 【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点， 由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C． 【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题． 3．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题： ①﹣3是函数y＝f（x）的极值点； ②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点； ③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零； ④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增． 则正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出①②④的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率，判断出③的对错． 【解答】解：由导函数y＝f′（x）的图象知 f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递减，（﹣3，+∞）单调递增 所以①﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，即最小值点 故①对②不对∵0∈，（﹣3，+∞） 又在（﹣3，+∞）单调递增∴f′（0）＞0 故③错∵f（x）在（﹣3，+∞）单调递增 ∴y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增故④对故选：D． 【点评】根据导函数的符号判断函数的单调性：导函数大于0，函数单调递增；导函数小于0，函数单调递减．注意函数的极值点的左右的导函数符号要相反． 4．已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是　②④　．（填写正确命题的序号） ①函数f（x）在区间（﹣3，1）内单调递减；②函数f（x）在区间（1，7）内单调递减； ③当x＝﹣3时，函数f（x）有极大值；④当x＝7时，函数f（x）有极小值． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】把导函数的正负转化为函数的增减，再结合极值的定义可得答案． 【解答】解：因为图象为函数f（x）的导函数的图象，由图象可知： 当x∈（﹣3，1）时，导数大于0，故应为单调递增，故①错误； 当x∈（1，7）时，导数小于0，故为单调递减，故②正确； 在x＝﹣3 的左右两侧导函数均大于0，即函数都增，故不是极值点，故③错误； 而当x＝时，导函数为0，导数值先负后正，即函数先减后增，故为极小值点，故④正确．故答案为：②④ 【点评】本题为函数的增减性和极值的问题，熟练掌握函数的增减和导数的正负的关系是解决问题的关键，属中档题． 5．若函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有极大值点的个数为（　　） A．4 B．3