第3讲 等差数列的前n项和公式（情景导入）-新教材高中数学选择性必修第二册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第3讲 等差数列的前n项和公式 (第一种方式) 古代有关数列求和问题的故事 我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念. 到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式 . 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式 d=()÷(n-1). 这个公式等价于现今中学课本里的公式： . 大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事. (第二种方式) 印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征. 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) 生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数. 师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事. 高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?” 过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5 050.” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050. 师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？ 生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050. 师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果. 作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西. 师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题. $