第3讲 常用的逻辑用语（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第3讲 常用的逻辑用语 1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2.了解命题“若则”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是重点. 2.了解命题“若则”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题的关系是重点. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义是难点． 4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定是重点． 命题及其关系 1、 命题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题. （3）命题“”的真假判定方式： ①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. ②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可. 2、 四种命题 1、四种命题的形式： 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若则； 逆否命题：若则. （1）常见的一些词语和它的否定词语对照表： 原词语 等于 （） 大于 （） 小于 （） 是 都是 至多有一个 否定词语 不等于 （） 小于等于 （） 大于等于 （） 不是 不都是 至少有两个 原词语 至多有个 至少有一个 任意的 能 或 否定词语 至少有个 一个也没有 某个（存在一个） 不能 且 （2） 原命题与逆命题，原命题与否命题，原命题与逆否命题是相对的. （3）对于不是“若则”形式的命题，应先把命题改写成“若则”的形式，以分清原命题的条件和结论，然后写出其他三种命题. （4）若一个命题有大前提，在写其他三种形式的命题时，必须保留大前提，也就是大前提始终保持不变. 2、四种命题的关系 ①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. ③除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 例1．判断下列语句是否是命题，若是命题，指出是真命题还是假命题． （1）是一个很大的数；（2）2017年北京高考数学卷满分是120分； （3）；（4）你今天吃饭了吗；（5）万里长城真壮观啊；（6）对顶角相等． 【答案】见解析 【解析】（1）不是命题，∵ 没有明确定义“很大的数”，∴不能判断该语句的真假，∴不是命题；（2）是命题，假命题；（3）是命题，假命题；（4）不是命题，∵疑问句不是命题；（5）不是命题，∵感叹句不是命题；（6）是命题，真命题． 练习1．下列命题是真命题的是（ ） A．若，则 B．只有正数才有平方根 C．空集是任何集合的真子集 D．垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】判断一个命题是假命题只要找出一个反例即可，A中当和都是负数时，不成立，∴ A是假命题；B中0也有平方，且0不是正数，∴ B是假命题；C中空集是除自身以外任何集合的真子集，∴C是假命题；由立体几何知识可得D是真命题． 练习2．下列命题是真命题的是（ ）． A．一个数不是正数就是负数 B．四条边不相等的四边形不是正方形 C．当时， D．若两个三角形相似，则这两个三角形一定是正三角形 【答案】B 【解析】零既不是正数也不是负数，∴A错；若一个四边形的四条边不相等，则它一定不是正方形，∴ B正确；当a是负数时，若，则，∴C错；D两个相似三角形不一定都是正三角形，所以D错，∴选择B． 判断一个语句是否是命题，关键在于该语句是否是陈述句，能否判断其真假．一般地，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题．判断一个命题的真假，就是看由条件能否得出结论，在判断命题的真假时，应首先找出命题中的条件和结论，然后根据学过的定义、性质、定理等有关知识进行判断．判断一个命题是假命题只需找出一个反例即可． 例2．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题． （1）若，则关于的方程有实根； （2）若，则或． 【答案】见解析 【解析】（1）逆命题：若关于的方程有实根，则． 否命题：若，则关于的方程没有实根． 逆否命题：若关于的方程没有实根，则． （2）逆命题：或，则． 否命题：若，则且． 逆否命题：若且，则． 练习1．命题“若实数满足，则且”的否命题是（ ） A．若实数满足，则且 B．若实数满足，则或 C．若实数满足，