第2讲 集合的关系与运算（讲义）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

第2讲 集合的关系与运算 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集的概念； 3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 4. 了解空集的含义. 1.真子集与子集区之间的距离只差一个距离相等； 2.数轴是集合运算中的必备工具； 3.空集是最容易被遗忘的一个特殊集合。 子集 1. 子集的定义 若对任意的x∈A，都有x属于B，则称A是B的子集，记作AB或(BA)，规定空集是任何集合的子集。 不含任何元素的集合称为空集．记作. 2. 子集的性质 （1）AA. （2） A. （3）若AB,BC,则AC. 3. 真子集的定义 若AB,且存在元素bA,b∈B,则称A是B的真子集，记作AB(或BA).空集是任何非空集合的真子集 4. 真子集的性质 （1）A（A≠） （2）若AB,BC,则AC 5.集合中子集的个数 由n个元素组成集合A，则有： （1）A的子集个数是2n （2）A的真子集个数是2n－1 （3）A的非空子集个数是2n－1 （4）A的非空真子集个数是2n－2 例1. 集合A＝{1，2，a}，B＝{2，3}，若BA，则实数a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【解析】∵B⊊A，∴3∈A，因此a＝3． 故选：C． 练习1. 集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}．若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或±1 【答案】D 【解析】∵A＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}， 又∵B⊆A， 当a＝0，ax＝1无解，故B＝∅，满足条件 若B≠，则B＝{﹣1}，或Q＝{1}， 即a＝﹣1，或a＝1 故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1} 故选D． 练习2. 已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{2，a2}，若B⊆A，则实数a的值为　 　． 【答案】0 【解析】∵B⊆A，∴a2＝0，解得a＝0． 故答案为：0． 本题有两个个易错点，一是忽略B＝的情况，二是忽略题目要求求满足条件的实数a的取值集合. 例2. 已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　） A．（2，＋∞） B．[2，＋∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1] 【答案】B 【解析】∵集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，M⊆N， ∴a≥2， 实数a的取值范围是[2，＋∞） 故选B． 练习1. 集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　） A．[3，＋∞） B．（3，＋∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1） 【答案】C 【解析】∵集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3） N＝{x|x＞a}， 若N＝{x|x＞a}，则﹣1≥a 即a≤﹣1 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1] 故选C 练习2. 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2 【答案】B 【解析】根据题意，A⊆B， 而A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得， 必有a≤1， 故选B． 考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错． 例3. 若{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】∵{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，∴集合A中必须含有1，2两个元素， 因此满足条件的集合A为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个． 故选C. 练习1. 满足集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】∵集合{1，2}⊊M⊊{1，2，3，4，5}， ∴M中至少含有三个元素且必有1，2， 而M为集合{1，2，3，4，5}的真子集，故最多四个元素， ∴M＝{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，5}或{1，2，3，4}， 或{1，2，3，5}，或{1，2，4，5}，共6个 故答案为 C． 练习2. 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值为　 　． 【答案】0或1或﹣1 【解析】若集合A有且仅有两个子集， 则方程ax2＋2x＋a＝0只有一个解， a＝0时，x＝0，A＝{0}，A的子集是A和空集， a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0是一元二次方程， △＝4﹣4a2＝0，解得：a＝±1， ∴