4.3.1等比数列(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.1 等比数列 【知识目录】 1、 等比数列的概念 2、 等比中项及“高斯技巧” 3、 等差等比纠缠数列 4、 二阶等比数列 5、 奇偶分段和正负相间的数列 6、 等比数列有关的最值 7、 高中联赛题选。 典例分类精讲 · 一、等比数列的概念 1.基本定义和公式： （1）定义：数列{an}若满足=q(q为常数)称为等比数列。q为公比。 （2）通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。 2.等比数列通项涉及到指数幂形式，所以对应的计算要稍微复杂些，一般情况下是构造首项和公比的方程，在实际计算过程中，常常通俗的归纳为“等差数列两式常做差，等比数列两式常做商” 【典型例题】 【例1】下列数列一定是等比数列的是（ ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【分析】 对四个选项按等比数列的定义一一验证即可. 【详解】 对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 【例2】已知等比数列，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据等比数列的性质即可求出. 【详解】 ∵，， ∴，又，∴.故选：D. 【例3】如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为（ ） ， ，， … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先判断出“三角形数阵”的数排布规律，即可求解. 【详解】 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝． 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列， 所以a53＝＝．故选：C 【例4】如果，，，，成等比数列，那么（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 ，，，，成等比数列，利用等比中项求解. 【详解】 因为，，，，成等比数列， 所以，且与首项同号，所以．故选：B 【例5】已知等比数列中，，，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】 设等比数列的公比为，则由题意可得从而可求出，进而可求出答案 【详解】 等比数列中，设其公比为，，， ∴解得∴，故选：C． 【例6】已知等比数列，则下面对任意正整数都成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 对于AD，当时，不成立，对于B，利用等比数列的通项公式化简判断即可，对于C，当时，不成立 【详解】 根据题意，依次分析选项：对于A，当时，与异号，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则不一定成立，C错误； 对于D，，则不一定成立，D错误． 故选：B 【例7】设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】 ，且数列有连续四项在集合中， ，数列的连续四项在集合中， 因为是等比数列，等比数列中一定有正项和负项相邻，则，所以等比数列各项的绝对值递增或递减. 按绝对值的顺序排列上述数值得，相邻两项相除， 则可得是数列的连续四项， 或（舍去） 故选:A. 【对点实战】 1.设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 设数列的公比为，则，根据等比数列的定义逐一判断①②③④即可得正确答案. 【详解】 设数列的公比为，则， 对于①，因为是常数，所以是等比数列； 对于②，因为是常数，所以是等比数列； 对于③，因为是常数，所以是等比数列； 对于④，因为是常数，所以是等比数列； 所以①②③④都是等比数列，所以等比数列有个， 故选：D. 2.已知等比数列满足，，则（ ） A．12 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】 根据等比数列性质以及题中所给条件直接求解即可. 【详解】 因为 所以解得或（舍去），所以. 所以. 故选:D 3.已知为等比数列，下列结论中正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】 利用特殊值排除错误选项，利用等比数列的性质证明正确选项. 【详解】 若，则，所以AB选项错误. 若，则，所以D选项错误. 对于C选项，由于，公比，所以，即，所以C选项正确. 故选：C 4.在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）. A．4 B．