举一反三：五年级数学上册第六单元《多边形面积》-期末重难点题型（人教版）

2021-2022学年五年级数学上册举一反三系列（人教版） 第六单元《多边形面积》-重难点题型（解析版） 【题型1 直角三角形的面积】 主要考点： （1）直角三角形面积公式。 S△=a×b÷2=c×h÷2， h=2S△÷c， h=a×b÷c。 （2）构造直角三角形，利用直角三角形面积公式，求解。 （3）延长底边，面积增加，求原三角形面积。 （4）在直角三角中，a2+b2+=c2。 （5）在一个三角形中，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是以c边为斜边的直角三角形。 【例1】如图，在四边形ABCD中，有两个直角，AD为10厘米，BC为6厘米，∠BAD为45°，求四边形ABCD的面积。 解：延长AB、DC相交于E，如图： 因为∠A=45°， 则三角形ADE和三角形CBE都是等腰直角三角形。 S四边形ABCD=S三角形ADE-S三角形CBE =10×10÷2-6×6÷2 =50-18 =32（平方厘米） 答：四边形ABCD的面积是32平方厘米。 【变式1-1】如图所示，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，求图形的面积。 解：连接AC，如图： ∵CD=3，AD=4，∠ADC=90°， ∴AC=5，S△ADC=×3×4=6。 ∵AC=5，BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形。 ∵△ABC是直角三角形，AC=5，BC=12， ∴S△ABC=×5×12=30， ∴S△ABC-S△ADC=30-6=24。 即图形的面积为24。 【变式1-2】在一块直角三角形草坪上修一条垂直于斜边的小路（如图），这条小路长多少米？ 解：30×40÷2×2÷50 =1200÷50 =24（米） 答：这条小路长24米． 点拨：小路的长就是这个直角三角形斜边上的高，先根据直角三角形的面积公式，求出三角形的面积，再乘上2，除以底，就是底边上的高． 【变式1-3】 三角形的底是5m，如果底边延长1m，面积就增加1.5m2，那么原来三角形的面积是多少平方米？ 解： 原三角形的高：1.5×2÷1=3（米） 原三角形的面积：5×3÷2=7.5（平方米） 答：原来三角形的面积是7.5平方米。 点拨：根据三角形面积=底×高÷2，把1.5乘2再除以延长的底边1米，求出三角形的高；再用原来的底乘高，除以2求出三角形原来的面积。 【题型2 梯形蝴蝶定理】 定理：在梯形ABCD中，AD//BC，AD=，BC=，面积为，对角线AC与BD相交于点O，，。 说明：在梯形ABCD中，AD//BC，△ABC和△DBC等底等高，所以面积相等，减去公共的△BOC面积，得。 【例2】下图的梯形中的阴影部分甲的面积和阴影部分乙的面积相比较，（ B ）。 A. 甲＞乙 B.甲＝乙 C.甲＜乙 D.无法确定 解： 由梯形蝴蝶定理，知甲、乙面积相等， 故答案为：B 【变式2-1】如下图所示，四边形ABCD和四边形BEFG是两个正方形，EF=6cm，AB=10cm。求阴影部分的面积。 解法1： （整个图形的面积-两个空白三角形的面积=阴影部分的面积） 10×10+6×6 =100+36 =136（平方厘米） 10×10÷2+(10+6)×6÷2 =50+48 =98（平方厘米） 6×(10-6)÷2 =24÷2 =12（平方厘米） 136-98+12 =38+12 =50（平方厘米） 答：阴影部分的面积是50平方厘米。 解法2： （S阴影=S正方形ABCD÷2） 连接BF，则四边形ABFC为梯形，假设BC、AF相交于点M， 根据梯形蝴蝶定理，知S△ABM=S△CMF， 所以，S阴影=10×10÷2=50（平方厘米）。 答：阴影部分的面积是50平方厘米。 点拨：例题中摆放的两个正方形，对称线连线平行，得到梯形，再利用梯形蝴蝶定理，求阴影部分面积，更简单，如解法2。 【变式2-2】对甲，乙两个阴影部分面积的描述中，下列说法正确的是(　B　) A.甲的面积＜乙的面积 B.甲的面积=乙的面积 C.甲的面积＞乙的面积 D.不能确定 解：因为甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等，同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等。 故选：B． 点拨：可以直接根据梯形蝴蝶定理，得到正确答案。 【变式2-3】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 解法1： 因为在三角形ABD与三角形DAC中，底都是AD，高都是AD与BC平行线段的距离，所以三角形ABD与三角形DAC的面积相等， 所以三角形ABO的面积与三角形DOC的面积相等，三角形ABO的面积是6平方厘米， 而BO:OD=12:6=2:1，则