精讲02 等差数列-【题型·技巧培优系列】2021-2022学年高二数学同步培优精讲+精测（北师大版选择性必修第二册）

精讲02 等差数列 【题型解读】 【题型精讲】 【题型一　等差数列基本量的运算】 必备技巧 等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 例1　 (2020·济南期末)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　) A. 　　　　　　B. 　　　　　 C．10 　　　　　　　D．12 例2　(2021·全国练习)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 例3　(2021·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝5，S9＝27，则a20等于(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 例4　在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　) A．2 B．10 C. D. 【题型精练】 1. （全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A． B． C． D． 2. （2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和．若，则__________． 3.（2020江苏高考）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 . 4.（2020•新全国1山东）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【题型二　等差数列的性质及应用】 必备技巧 等差数列的性质 1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 例5　（2021·东北育才学校高二月考）(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．－8 (2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________． 例6　（2021·陕西省洛南中学高二月考）(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝ . 【题型精练】 1．(1)(2021·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　) A．2 B.3 C．4 D．6 (2)(2021·福建漳州质检改编)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝________，S19＝________. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________． 3.（全国卷高考题）设等差数列的前项和为，若，，，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【题型三　等差数列的判定与证明】 必备技巧 判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 例7　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. [题型精练] 1．（2020·湖北荆州·高二期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 2. （2021·广西田阳高中高二月考）数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n