4.2.2等差数列前n项和(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.2 等差数列前n项和 【知识目录】 1、 求和公式基础 2、 Sn与an的关系 3、 前n项和性质与技巧 4、 等差数列与裂项求和 5、 前n项和中阻止与范围 6、 等差数列奇偶项和与奇偶各自等差类型 7、 等差求和应用题。 8、 高中数学联赛 典例分类精讲 · 一、求和公式基础 等差数列前n项和公式由三个，注意适用范围。 1.俗称梯形面积公式:，上底加下底，乘高除以二 2.计算型公式： 3.等差中项型： 【典型例题】 【例1】已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 利用等差数列性质即可获解 【详解】 所以又 所以所以.所以公差故选: D 【例2】已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 由题意可得，则，而，再将代入化简可得答案 【详解】 设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得． 则．故选：B． 【例3】（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意可知数列1，4，7，…，，为等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解即可 【详解】 易知数列1，4，7，…，，为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为， 所以原式， 故选：C． 【例4】已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】 由Sn－Sn－3＝54(n>3)，结合等差数列的性质可得an－1＝18(n≥2)，再由Sn＝100结合等差数列求和公式可得＝100，从而可求出的值 【详解】 ∵等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)，又{an}为等差数列， ∴3an－1＝54(n≥2)，∴an－1＝18(n≥2)，又a2＝2，Sn＝100，∴Sn＝＝＝100. ∴n＝10，故选：D． 【例5】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝（ ） A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】A 【分析】 设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列通项公式和求和公式，代入所给条件，解方程即可得解. 【详解】 设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5，∴3a1＋3d＝2a1＋7d， ∴a1＝4d.又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60，∴d＝2，∴a1＝8.∴a5＝a1＋4d＝16.故选：A 【例6】在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】 利用等差数列的通项公式和前项和公式对变形可解得结果. 【详解】 由得， 将代入得， 因为，所以，得. 故选：B 【例7】一个边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于，公差等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由等差数列的通项公式与求和公式求解即可 【详解】 由题意可知：，，，则，即， 解得或（舍），所以，故选：A 【对点实战】 1.已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可. 【详解】 由题设，，解得.故选：A 2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】 由，可得，然后对化简可得结果 【详解】 因为等差数列中，， 所以， 则. 故选：B. 3.等差数列中，，前项和为，若，则（ ） A．1010 B．2020 C．1011 D．2021 【答案】B 【分析】. 根据已知条件求得，由此求得. 【详解】 依题意，即，即， 所以. 故选：B 4.已知等差数列的前项和为，，若，且，则的值为（ ） A．7 B．8 C．14 D．16 【答案】B 【分析】 由等差数列性质求出，由等差数列前项可求得． 【详解】 因为是等差数列， 所以，解得：， 所以，解得：．故选：B 5.已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是（ ） A．15 B．20 C．25 D．35 【答案】C 【分析】 利用等差数列求和公式计算即可.公式为 【详解】 数列的前5项和为 故选：C 6．已知一个等差数列的前项和是310，首项为4，公差为6，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】 利用等差数列的前n项和公式得到关于n的方程，求解即得. 【详解】 ，则． 故选：C. 7.三角形数构成数列则这个数列的第项为（ ） A