第一章 空间向量与立体几何（B卷）- 2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用）

2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用） 第一章 空间向量与立体几何（B卷） B卷 培优提能过关卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．如图圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系得： ，，， 设的夹角为， 又 则 因为 即SA与BC所成角的余弦值为 故选A． 2．已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，建立空间直角坐标系． 由题意得，设点的坐标，则． 由题意得与平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，，． 因为直线与所有的棱所成角相等， 所以， 因此， 所以，解得， 所以点的坐标，即为正方形对角线的交点， 因此，所以． 故选D． 3．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以 为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面 所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形， 则，所以 设， 由为线段的中点， 则， 由， 所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， ，，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 解得，令，则， 所以， 平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 将分子、分母同除以，可得 令， 当时，， 则的最大值为：. 故选：D 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【解析】 建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为：则 ，，，，所以三角形是在三角形，①正确. ，所以，设异面直线与所成角为，则，所以，②错误. ，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由于，所以③正确. 综上所述，正确的命题序号为①③. 故选：D 5．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：设，因为平面，所以，，，， 又底面是正方形，所以，， 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，， 所以数量积最大的是， 故选：B. 6．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即， 的最大值为2 故选：B 7．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，与相交 C．异面直线与所成的角为 D．始终与平面平行 【答案】D 【解析】 ∵边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直 ∴以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，所以，，，， ∵ ∴过点M作MP⊥AB于点P，连接EP，CN，ME， 则， ， 显然，与不一定相等，选项A错误. B选项：当时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示， 此时与相交，故当时， 与不相交，选项B错误 C选项：， ∴ ∴异面直线与所成的角为，C选项错误 D选项： 平面BCE的法向量为 ∴ ∴ ∴始终与平面平行 ∴选项D正确 故选：D 8．如图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：存在，，使，， 平面， 设的中点为，连接，，，， 则，平面，不在平面内， 所以平面，同理平面，，平面， 平面平面， 点为侧面正方形内（含边界）动点，且平面， 点的轨迹为线段， 正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点， , 由题得就是与侧面所成角， 所以最大，则最小，即. 由等面积法得, 所以最