第一章 空间向量与立体几何（A卷）- 2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用）

2022年高考数学一轮复习单元双优测评卷（新高考地区专用） 第一章 空间向量与立体几何（A卷） A卷 基础过关必刷卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设， 则根据题意可得，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：C. 2．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 3．如图，正方体中，是的中点，则（ ） A．直线与直线相交，直线平面 B．直线与直线平行，直线//平面 C．直线与直线垂直，直线//平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】C 【解析】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，，所以，，，所以与不平行，故直线与直线不平行，即B错误； ，所以，所以，设面的法向量为，即，令，则，，所以，所以，因为平面，所以平面，故C正确； 因为，，故与不垂直，故D错误； 因为，，所以与不相交，故A错误； 故选：C 4．如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过作平面，垂足为；作于点，连接 以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系 则，，，，， 设，则， ， 当时， 故选： 5．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中， ， ，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A. 6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选B． 7．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为线段D1Q与OP互相平分， 所以四点O，Q，P，D1共面， 且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时， Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时， Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意． 若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q； 在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动， 只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合， 此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个 故选C. 8．已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，，则 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】建立直角坐标系如图所示， ，底面为等边三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0）点为的中点，F（- ，- ，0），设M（x,y,z）,，所以 ，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且，所以MN为球的直径，= . 故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内(包含边界)，且，则( ) A．点的轨迹的长度为 B．存在，使得 C．直线与平面所成角的正弦值最大为 D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为 【答案】AD 【解