5.1.4 用样本估计总体-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

第五章 统计与概率 5.1统计 5.1.4 用样本估计总体 知识梳理 一．用样本的数字特征估计总体的数字特征 一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也成为样本方差）与总体对应地值相差不会太大. 二．分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征 假设第一层有个数，分别为 ，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则 如果记样本均值为，样本方差为，则可以计算出 三．用样本的分布估计总体的分布 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为： ，样本 每一组对应的频率为，一般来说， 不等于0， 同样，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性越来越大. 常见考点 考点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征 典例1．某班有50名学生，男女人数不相等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是 A．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差． B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数． C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数． D．这种抽样方法是一种分层抽样． 【答案】A 【分析】 根据茎叶图的分别情况分别判断即可． 【详解】 5名男生成绩的平均数为：， 5名女生成绩的平均数为：， 这5名男生成绩的方差为 ，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以A对； 这5名男生成绩的中位数是90， 5名女生成绩的中位数93，所以B错； 该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以C错； 若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错． 故选A 【点睛】 本题考查了茎叶图问题，平均数，中位数问题，是一道常规题． 变式1-1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为 A．62，62.5 B．65，62 C．65，62.5 D．62.5，62.5 【答案】D 【详解】 试题分析：选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为（0.01+0.02）×10=0.3，由于0.5﹣0.3=0.2，则，∴中位数为60+5=65. 故选D. 考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图． 变式1-2．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为的零件，各抽取10件进行测量，其结果如下图所示，则以下结论不正确的是（ ） A．甲流水线生产的零件直径的极差为 B．乙流水线生产的零件直径的中位数为 C．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定 D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值 【答案】D 【分析】 根据图表逐个选项判断即可. 【详解】 对A,甲流水线生产的零件直径的极差为.故A正确. 对B,易得除去3个与3个,剩下的均为.故中位数为正确. 对C,由图表易得, 乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定.故C正确. 对D,计算可得甲乙流水线生产的零件直径平均值均为.故D错误. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了根据图表判断实际应用的问题.属于基础题型. 变式1-3．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式．下面实例是某市对“增值评价”的简单应用，该市教育评价部门对本市所高中按照分层抽样的方式抽出所(其中，“重点高中”所分别记为,“普通高中”所分别记为),进行跟踪统计分析，将所高中新生进行了统的入学测试高考后，该市教育评价部门将人学测试成绩与高考成绩的各校平均总分绘制成了雷达图.点表示学校入学测试平均总分大约分，点表示学校高考平均总分大约分，则下列叙述不正确的是（ ） A．各校人学统一测试的成绩都在分以上 B．高考平均总分超过分的学校有所 C．学校成绩出现负增幅现象 D．“普通高中”学生成绩上升比较明显 【答案】B 【分析】 依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 A. 各校人学统一测试的成绩都在分以上，根据图像知，正确 B. 高考平均总分超过分的学校有所，根据图像知，只有ABC三所，错误 C. 学校成绩出现负增幅现象，根据图像，高考成绩低于入学测试，正确 D. “普通高中”学生成绩上升比较明显，根据图像，“普通高中”高考成绩都大于入学测试，正确. 故答案选B 【点睛】 本题考查了雷达图的知识，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力. 考点二 用样本的分布估计总体的分布 典例2．一般情况下，用样本估计总