4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的最值和综合应用(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等差数列前n项和的最值和综合应用 [学习目标] 1.会解决与等差数列前n项和的最值有关的问题(重点).2.掌握等差数列前n项和的综合应用(难点).3.会用裂项相消法求和(重点)． (见学生用书P12) 要点　等差数列{an}的前n项和公式Sn的函数特征 1．前n项和公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，即等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.(　　) (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则点(n∈N*)在同一条直线上．(　　) (3)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝an2＋bn＋c，则数列{an}是等差数列．(　　) (4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) (5)若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－处取得．(　　) 解析 (1)错误．当公差为零时，Sn为一次函数． (2)正确．由Sn＝An2＋Bn，可知数列是等差数列，点(n∈N*)在同一条直线上． (3)错误．当且仅当c＝0时，数列{an}才是等差数列． (4)错误．当(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时，结论才成立． (5)错误．只有当－是正整数时结论才成立． 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× (见学生用书P12) 考点一　等差数列前n项和Sn的最值 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． ②利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数的对应项作为正、负项的分界点． 【例题1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大？ 解析 (1)方法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n. 方法二　由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的无常数项的二次函数，所以数列{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)方法一　令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 方法二　由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝知，距离最近的整数为16,17.又S16＝S17＝272，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 【变式1】 已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？最大值是多少？ 解析 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N*)． (2)方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值，最大值是25. 方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，所以{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.因为n∈N*，所以n≤5时，an>0，n≥6时，an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值，最大值是S5＝9×5－2×＝25. 考点二　等差数列前n项和公式的实际应用 答题模板　　 　　　　　　　　　　　　　　 【例题2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算