4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式及其性质(Word教参)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式及其性质 [学习目标] 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式(重点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(难点)． (见学生用书P10) 要点一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 思考：等差数列{an}的前n项和公式的推导中，运用了哪条性质？ 提示 运用性质“等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”，从而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1. 要点二　等差数列前n项和的性质 1．“片段和”性质 若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也为等差数列． 2．等差数列{an}中，数列仍为等差数列． 3．等差数列{an}中，若Sm＝Sp(m≠p)，则Sm＋p＝0. 4．在等差数列{an}中，d为公差． (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)；S偶－S奇＝nd；＝. (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝an；＝. 5．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝. 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) (3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．(　　) (4)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．(　　) 解析 (1)正确．由前n项和的定义可知． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．若Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． (4)正确．由等差数列前n项和公式的推导可知． 答案 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√ (见学生用书P11) 考点一　等差数列前n项和的有关计算 规律总结　　 　　　　　　　　　　　　　　 求数列的基本量的基本方法 求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理． (1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个． (2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解，体现了方程的思想． 【例题1】 已知等差数列{an}． (1)若a6＝10，S5＝5，求a8； (2)若a2＋a4＝，求S5. 解析 (1)方法一　 因为a6＝10，S5＝5，所以解得所以a8＝a6＋2d＝16. 方法二　 因为S6＝S5＋a6＝15，所以15＝，即3(a1＋10)＝15.所以a1＝－5，d＝＝3.所以a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　因为a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，所以a1＋2d＝.所以S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 方法二　因为a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝，所以S5＝＝×＝24. 【变式1】 (1)已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，若a2＋a4＝4，a5＝8，则S10＝(　　) A．125 B．115 C．105 D．95 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　) A．154 B．153 C．77 D．78 解析 (1)由题意可得解得所以S10＝10×(－4)＋×3＝95.故选D项． (2)根据题意，在等差数列{an}中，由S9＝27，可以得到＝9a5＝27，解得a5＝3，又a10＝8，所以S14＝＝＝77.故选C项． 答案 (1)D　 (2)C 考点二　等差数列前n项和的性质 解题技巧　　 　　　　　　　　　　　　　　 (1)等差数列前n项和计算的思维方法：一是通性通法；二是使用Sn和an之间的关系；三是使用前n项和“片段和”的性质；四是使用性质“也是等差数列”；五是利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点．这五种解法从不同角度应用了等差数列及其前n项和的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决． (2)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，一般用性质来求解． 【例题2】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110. 解析 方法一