4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的最值和综合应用（Word教用版）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　B 解析　由题意知an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则可以得到.因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.故选B项．≤k≤即所以 2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，则正整数k为(　　) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 答案　C 解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 016，Sk＝S2 008，可得，解得k＝2 019.故选C项．＝ 3．已知数列的前n项和Sn＝9，则n＝(　　) A．97 B．98 C．99 D．100 答案　C 解析　因为－1＝9，解得n＝99.故选C项．，由Sn＝－)＝－)＋…＋(－)＋(－，所以Sn＝(－＝＝ 4．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载了很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断．剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？此民谣提出的问题的答案是(　　) (注：①五寸即0.5尺，②一尺三即1.3尺，③三分即0.03尺，④分三即一分三厘，等于0.013尺) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 答案　B 解析　由题意可得行程S＝[0.5＋(0.5＋0.03×1)＋(0.5＋0.03×2)＋…＋(0.5＋0.03×29)]＋[1.3＋(1.3－0.013×1)＋(1.3－0.013×2)＋…＋(1.3－0.013×29)]＝0.5×30＋×(－0.013)＝61.395.故选B项．×0.03＋1.3×30＋ 5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11.其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 答案　B 解析　因为S6>S7，所以a7<0，因为S7>S5，所以a6＋a7>0，所以a6>0，所以d<0，①正确；又S11＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确；{Sn}中最大项为S6，④不正确．故正确的是①②.故选B项．(a1＋a11)＝11a6>0，②正确；S12＝ 二、填空题 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为______. 解析 由所以a5＝a1＋4d＝0，所以S4＝S5且同时最大．所以n＝4或5.解得 答案 4或5 7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为______. 解析 由题意得a8>0，a9<0，所以.，故d的取值范围为解得－1<d<－ 答案 8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为______. 解析 钢管的排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个，所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案 10 三、解答题 9．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值． 解析 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，可以得到所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*. 解得 (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最大值． 10．已知数列{an}满足an＋1＋1＝，an≠－1，an≠－2且a1＝1. (1)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)令bn＝的前n项和Sn. ，求数列 解析 (1)证明：因为an＋1＋1＝. ，所以an＝＝＋(n－1)·1，所以＝，公差为1的等差数列．所以是首项为＝1，所以数列－，所以＝，即＝，an≠－1，an≠－2且a1＝1，所以 (2)由(1)知bn＝.＝＝2，所以Sn