重点题型训练5-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

人教A版（新教材）高二选择性必修第二册重点题型N5 第五章 一元函数的导数及其应用 考试范围：5.1导数的概念及其意义；5.2导数的运算；5.3.1导数在研究函数中的应用——函数的单调性考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、变化率的简单计算 1．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+△x之间的平均变化率为（　　） A．△x+2 B．2△x+（△x）2 C．△x+3 D．3△x+（△x）2 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解． 【解答】解：△y＝（1+△x）2+1+△x﹣1﹣1＝△x2+3△x， ∴＝△x+3，故选：C． 【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题． 2．函数f（x）＝2x2﹣1在区间（1，1+△x）上的平均变化率等于（　　） A．4 B．4+2△x C．4+2（△x）2 D．4x 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】根据题意，由平均变化率的定义可得＝，计算即可得答案， 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x2﹣1在区间（1，1+△x）上， 其平均变化率＝＝4+2△x， 故选：B． 【点评】本题考查平均变化率的计算，关键是掌握平均变化率的计算公式． 3．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解． 【解答】解：∵函数y＝f（x）＝x2在x0到x0+△x之间的平均变化量为：△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）＝（x0+△x）2﹣（x0）2＝△x（2x0+△x） ∴k1＝＝2x0+△x． ∵函数y＝f（x）＝x2在x0﹣△x到x0之间的平均变化量为：△y＝f（x0）﹣f（x0﹣△x）＝（x0）2﹣（x0﹣△x）2＝△x（2x0﹣△x） ∴k2＝＝2x0﹣△x．∵k1﹣k2＝2△x，而△x＞0，故k1＞k2．故选：A． 【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题． 4．已知函数f（x）＝x3，求证：函数在任意区间[a，a+b]上的平均变化率都是正数． 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出该函数在区间[a，a+b]上的平均变化率，即可得出结论． 【解答】证明：＝＝3a2+3ab+b2＝3（a+）2+＞0． 因此，函数在任意区间[a，a+b]上的平均变化率都是正数． 【点评】本题变化的快慢与变化率，解题的关键是求出函数值做出函数值之差，数字的运算不要出错，这是用定义求导数的必经之路． 5．函数f（x）＝x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是2，则t＝　5　． 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】由平均变化率的概念列关于t的方程，通过解方程求出t的值． 【解答】解：函数f（x）＝x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是＝＝＝2， 即t2﹣t﹣6＝2t+4，t2﹣3t﹣10＝0，解得t＝5或t＝﹣2（舍去）． 所以，当函数f（x）＝x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5． 故答案为5． 【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了一元二次方程的解法，是基础题． 题型2、基于导数运算公式的形式化计算 1．设函数f（x）可导，则等于（　　） A．f′（1） B．3f′（1） C． D．f′（3） 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】利用导数的定义即可得出． 【解答】解：＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题． 2．已知函数f（x）＝e2x，则＝（　　） A．e B．﹣e C．e2 D．﹣e2 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】求导，根据导数在某点的极限值，即可求得结论． 【解答】解：∵f（x）＝e2x， ∴f′（x）＝2e2x， ∴＝﹣＝﹣f′（1）＝﹣2e2＝﹣e2，故选：D． 【点评】本题考查了导数的定义与运算法则，属于基础题． 3．设f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（　　） A． B． C． D．6 【考点】变化的快慢与变化率．版权所有 【分析】根据＝＝f′（1），即可求出． 【解答】∵f′（1）＝2， ∴＝＝f′（1）＝， 故选：A．【点评】本题考查了函数的变化率与导数的关系，属于基础题． 4．设f（x）为可导函数，且f′（2）＝，则的值为（　　）