重点题型训练4-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

人教A版（新教材）高二选择性必修第二册重点题型N4 第四章 数列 考试范围：4.4 数学归纳法；数列综合 考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、用数学归纳法证明数列恒等式 1．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为（　　） A．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1） B．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1） C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1） D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1） 【考点】数学归纳法．版权所有 【分析】由数学归纳法可知n＝k时，1+2+3+…+2k＝2k2+k，到n＝k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案． 【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n时， 假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）．故选：D． 【点评】本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题． 2．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝，则当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上（　　） A．k2+1 B．（k+1）2 C． D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2 【考点】数学归纳法．版权所有 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝时，当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上的式子，可以分别使得n＝k，和n＝k+1代入等式，然后把n＝k+1时等式的左端减去n＝k时等式的左端，即可得到答案． 【解答】解：当n＝k时，等式左端＝1+2+…+k2， 当n＝k+1时，等式左端＝1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2． 故选：D． 【点评】此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目． 3．用数学归纳法证明“”时，由n＝k的假设证明n＝k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（　　） A． B． C． D． 【考点】数学归纳法．版权所有 【分析】当n＝k+1时，右边＝，由此可得结论． 【解答】解：由所证明的等式，当n＝k+1时，右边＝＝故选：D． 【点评】本题考查数学归纳法，考查归纳假设，属于基础题． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝1﹣nan（n∈N*） （1）计算a1，a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【考点】归纳推理；数学归纳法．版权所有 【分析】（1）由Sn与an的关系，我们从n＝1依次代入整数值，即可求出a1，a2，a3，a4； （2）由a1，a2，a3，a4的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明． 【解答】解：（1）计算得；；；． （2）猜测：．下面用数学归纳法证明 ①当n＝1时，猜想显然成立． ②假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即． 那么，当n＝k+1时，Sk+1＝1﹣（k+1）ak+1， 即Sk+ak+1＝1﹣（k+1）ak+1．又， 所以，从而． 即n＝k+1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立． 【点评】本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n＝1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立． 5．用数学归纳法证明12+22+32+…+n2＝，（n∈N*）． 【考点】数学归纳法．版权所有 【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n＝1时成立，然后假设当n＝k时成立，只要能证明出当n＝k+1时，立即可得到所有的正整数n都成立 【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝，即原式成立（2分） （2）假设当n＝k时，原式成立，即12+22+32+…+k2＝（6分） 当n＝k+1时，12+22+32+…+（k+1）2＝＝（10分）即原式成立根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立 ∴12+22+32+…+n2＝（12分） 【点评】数学归纳法的步骤：