必考点07 二次函数的应用-【对点变式题】2021-2022学年九年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点07 二次函数的应用 题型一：函数的图形问题 【例1】（2021·浙江杭州·九年级其他模拟）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点，同时动点也从点出发，以每秒个单位的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据P点位置运动不同分类讨论计算即可，分在AD上运动和在CD上运动，结合三角形的面积得出关系式，再判断即可； 【详解】∵， ∴，则， 当点P在AD上运动时，如下图， 过点Q作， 由题意得：，，， 则，为开口向上的抛物线； 当点P在CD上运动时，同理可得为开口向下的抛物线； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键． 题型二：图形运动问题 【例2】（2021·浙江温州·九年级二模）如图，抛物线与函数的图象在第一象限交点的横坐标为4，点在抛物线上，点在正比例函数的图象上，当时，的最大值为_______________． 【答案】 【分析】根据第一象限的交点求出a的值，再表示出，，列出关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解． 【详解】把x=4代入得y=2 把x=4，y=2代入得 解得a= ∴ 当x=t时，，当x=t+1时， ∴当时，=== ∵＜0， ∴当t=2时，的最大值为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意列出关于t的二次函数进行求解． 题型三：拱桥问题 【例3】（2019秋•德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m． （1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式； （2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由． 【分析】（1）由顶点坐标（4，6）和点A的坐标，即可求解； （2）令y＝4，则有，解得：，，，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6）， 设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6， 又因为点A（0，2）在抛物线上， 所以有2＝a（0﹣4）2+6． 所以． 因此有：； （2）令y＝4，则有， 解得：，，， ∴货车可以通过． 题型四：销售问题 【例4】（2021·浙江杭州·九年级期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，把市场调查、销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，邻天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为2500元． （2）直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）60元或100元；（2）销售单价为80元，最大利润是4500元 【分析】（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元，则（x-50）[50+5（100-x）=2500，即可求解； （2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，由题意得：y=-5x2+800x-27500=-5（x-80）2+4500，即可求解． 【详解】解：（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为2500元， 则（x-50）[50+5（100-x）]=（x-50）（-5x+550）=-5x2+800x-27500=2500（x≥50）， 解得：x=100或60， 故销售单价为60元或100元时，每天的销售利润为2500元； （2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元， 由题意得：y=-5x2+800x-27500=-5（x-80）2+4500， ∵a=-5＜0， ∴抛物线开口向下． ∵x≥50，对称轴是直线x=80， ∴当x=80（元）时，y最大值=4500（元）； 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 题型五：图象问题 【例5】（2020•日照）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，则ME＝BE，AM＝GH，而四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDN＝2S矩形MEFN，