4.2等差数列-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

4.2等差数列 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列． 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 二、等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b. 注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均 数，即A＝；(3)a3是a1和a5的等差中项． 若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝. 三、等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一． 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 四、等差数列的通项公式与函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d_； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列 五、等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)． (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 反思感悟　判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 六、等差数列的实际应用 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 七、由等差数列构造新等差数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判 断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数． 八、等差数列中任意两项之间的关系 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)； (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 注意点：若an＝m，am＝n(n≠m)，则an＋m＝0.(证明：＝，＝，＝－1，故an＋m＝0)． 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． 九、等差数列中多项之间的关系 1．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝