4.3等比数列-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

4.3等比数列 一、等比数列的概念 等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 注意点：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 二、等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 注意点：①若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；②只有同号的两个实数才有等比中项；③若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 三、等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 四、等比数列的通项公式与函数的关系 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 五、等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注意点：用定义法证明时，和中的n的范围不同． 六、等比数列中项的设法 几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 …，，，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为 ，，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 …，，，，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 七、由等比数列构造新等比数列 1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况． 八、等比数列中任意两项之间的关系 等比数列通项公式的推广和变形an＝amqn－m. 等比数列的通项公式及变形的应用 (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项． (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项． 九、等比数列中多项之间的关系 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 十、等比数列前n项和公式的推导 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn＝ 公式二 Sn＝ 注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的