7.1条件概率与全概率公式 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（教师版+学生版）

7.1条件概率与全概率公式 一 条件概率的理解 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 注意点： A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝ P(B)． 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的 二 利用定义求条件概率 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 三 缩小样本空间求条件概率 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 四 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 注意点： (1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生； (2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和； (3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件． 五 互斥事件的条件概率 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 注意点： (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0； (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和． 六 全概率公式 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 七 多个事件的全概率问题 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 八 贝叶斯公式 *贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 贝叶斯公式的内含 (1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重． 考点一 条件概率 【例1】(2020·全国高三专题练习)一个盒子中装有个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为、、、、、，从中不放回地随机抽取个小球，将其编号之和记为.在已知为偶数的情况下，能被整除的概率为( ) A． B． C． D． 【练1】(2020·天津高二期末)一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______ 考点二 全概率公式 【例2】．(2020·全国高二课时练习)设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 【练2】(2021·北京房山区·高二期末)袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： (Ⅰ)第一次摸到红球的概率； (Ⅱ)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； (Ⅲ)第二次摸到红球的概率. 课后练习 1. （2021高二下·天津期中）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（   ） A.                                          B.                                          C.