7.3离散型随机变量的数字特征 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（教师版+学生版）

7．3离散型随机变量的数字特征 一 离散型随机变量的均值 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 注意点： 分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 二 两点分布的均值 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 反思感悟　两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 三 均值的简单应用 解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率． 四 均值的性质 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 五 均值的实际应用 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断． 六 决策问题 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可． (2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论． 七 离散型随机变量的方差 方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 注意点： 一般地，随机变量的方差是非负常数． 八 方差的计算 求离散型随机变量方差的步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； (2)求出X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)计算E(X)； (5)计算D(X)． 九 方差的简单应用 (1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论． (2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的 十 方差的性质 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 十一 方差的实际应用 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 十二 决策问题 均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高． (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定． (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断． 考法一 分布列均值与方差 【例1】(2020·广东高二期末)已知随机变量的分布列是 则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由分布列的性质可得，得，所以，， 因此，．故选：C． 【练1】(2020·吉林长春市实验中学)若随机变量ξ的分布列： ξ 1 2 4 P 0．4 0．3 0．3 那么E(5ξ＋4)等于( ) A．15 B．11 C．2．2 D．2．3 【答案】A 【解析】由已知，得：Eξ＝1×0．4＋2×0．3＋4×0．3＝2．2， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×2．2＋4＝15．故选：A． 考法二 实际应用中的分布列与均值 【例2】(2020·山西朔州市·应县一中)为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元(不足1小时