4.4 数学归纳法-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 第四章：数列 4.4　数学归纳法 【考点梳理】 考点一　数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法证明恒等式 1．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明 ． 2．（2020·全国·高二课时练习）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2= ·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论. 题型二：数学归纳法证明整除问题 3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高二月考（理））用数学归纳法证明： 能被 整除． 4．（2021·河南·高二月考（理））用两种方法证明： 能被49整除． 题型三：数学归纳法证明数列问题 5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列 满足 ， ，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足a1＝ ，前n项和Sn＝ an. （1）求a2，a3，a4的值； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明. 题型四：数学归纳法证明不等式 7．（2021·全国·高二单元测试）求证： ，n∈N*． 8．（2021·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明 . 【双基达标】 一、单选题 9．（2021·全国·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式 的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（ ） A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 10．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有 ，在验证 正确后，归纳假设应写成（ ） A．假设 时命题成立 B．假设 时命题成立 C．假设 时命题成立 D．假设 时命题成立 11．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ） A．增加了一项 B．增加了两项 ， C．增加了两项 ， ，又减少了一项 D．增加了一项 ，又减少了一项 12．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ ”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（ ） A．1＋a B．1＋a＋a2 C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 13．（2021·陕西·咸阳百灵学校高二期中（理））用数学归纳法证明： EMBED Equation.DSMT4 14．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明“当 为正奇数时， 能被 整除”时，第二步归纳假设应写成（ ） A．假设当 时成立，再推出当 时成立 B．假设当 时成立，再推出当 时成立 C．假设当 时成立，再推出当 时成立 D．假设当 时成立，再推出当 时成立 15．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋ d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ） A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋ d D．(k＋1)a1＋ d 16．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明： ，当 时，左式为 ，当 时，左式为 ，则 应该是（ ） A． B． C． D． 17．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 18．（2021·江苏·高二专题练习）设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：当 成立时，总有 成立.则下列命题总成立的是（ ） A．若 成立，则 成立 B．若 成立，则当 时，均有 成立 C．若 成立，则 成立 D．若 成立，则当 时，均有 成立 【高分突破】 一：单选题 19．（2021·全国·高